Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về dãy số cộng hữu hạn trong chương trình Toán lớp 7 nhé. Bài toán của chúng ta như sau:

Cho B = 1/7 + 1/7^2 + 1/7^3 + … + 1/7^100

Chúng ta cần tìm giá trị của B.

Các em hãy cùng quan sát, đây là một tổng của nhiều số hạng, mà mỗi số hạng lại có dạng phân số với lũy thừa của 7 ở mẫu. Cô tin rằng với những kiến thức đã học, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết bài toán này.

Bước 1: Nhận dạng dạng của dãy số

Các em thấy rằng, mỗi số hạng trong tổng B đều là một phân số.
Số hạng thứ nhất là 1/7.
Số hạng thứ hai là 1/7^2.
Số hạng thứ ba là 1/7^3.
…
Số hạng cuối cùng là 1/7^100.

Ta thấy rằng, từ số hạng này sang số hạng kế tiếp, ta nhân với một số không đổi.
Ví dụ: (1/7) * (1/7) = 1/7^2.
(1/7^2) * (1/7) = 1/7^3.
Đây chính là đặc điểm của một cấp số nhân. Tuy nhiên, trong chương trình lớp 7, chúng ta chưa học về công thức tính tổng cấp số nhân một cách trực tiếp với dạng này. Chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp biến đổi khéo léo để đưa về dạng quen thuộc hơn hoặc để triệt tiêu các số hạng.

Bước 2: Nhân B với một số để tạo ra sự khác biệt

Để làm bài toán trở nên dễ xử lý hơn, chúng ta sẽ nhân toàn bộ biểu thức B với 1/7.
Ta có:
B = 1/7 + 1/7^2 + 1/7^3 + … + 1/7^100

Nhân hai vế của phương trình trên với 1/7, ta được:
(1/7) B = (1/7) (1/7 + 1/7^2 + 1/7^3 + … + 1/7^100)

Thực hiện phép nhân phân phối, ta có:
(1/7) B = (1/7) (1/7) + (1/7) (1/7^2) + (1/7) (1/7^3) + … + (1/7) * (1/7^100)

Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số (a^m * a^n = a^(m+n)), ta có:
(1/7) * B = 1/7^2 + 1/7^3 + 1/7^4 + … + 1/7^101

Chúng ta gọi đây là biểu thức (2).

Còn biểu thức ban đầu là B, ta gọi là biểu thức (1):
(1) B = 1/7 + 1/7^2 + 1/7^3 + … + 1/7^100

Bước 3: Trừ hai biểu thức để loại bỏ các số hạng chung

Bây giờ, chúng ta sẽ lấy biểu thức (1) trừ đi biểu thức (2). Cô giáo sẽ viết biểu thức (1) ở trên và biểu thức (2) ở dưới để các em dễ hình dung việc trừ các số hạng tương ứng.

B = 1/7 + 1/7^2 + 1/7^3 + … + 1/7^100
(1/7)B = 1/7^2 + 1/7^3 + … + 1/7^100 + 1/7^101

Khi thực hiện phép trừ: B – (1/7)B, các số hạng từ 1/7^2 đến 1/7^100 sẽ bị triệt tiêu.

B – (1/7)B = (1/7 + 1/7^2 + 1/7^3 + … + 1/7^100) – (1/7^2 + 1/7^3 + … + 1/7^100 + 1/7^101)

B – (1/7)B = 1/7 + (1/7^2 – 1/7^2) + (1/7^3 – 1/7^3) + … + (1/7^100 – 1/7^100) – 1/7^101

B – (1/7)B = 1/7 – 1/7^101

Bước 4: Rút gọn và tìm giá trị của B

Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện việc rút gọn vế trái và vế phải.

Vế trái:
B – (1/7)B = B * (1 – 1/7) (Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ)
B (1 – 1/7) = B (7/7 – 1/7) = B * (6/7)

Vế phải:
1/7 – 1/7^101

Vậy, ta có phương trình mới:
B * (6/7) = 1/7 – 1/7^101

Để tìm B, chúng ta sẽ chia cả hai vế cho 6/7 (tức là nhân với nghịch đảo của 6/7, là 7/6).

B = (1/7 – 1/7^101) / (6/7)
B = (1/7 – 1/7^101) * (7/6)

Thực hiện phép nhân phân phối:
B = (1/7) (7/6) – (1/7^101) (7/6)
B = 7/(7*6) – 7/(6*7^101)
B = 1/6 – 7/(6*7^101)

Chúng ta có thể rút gọn thêm nữa. Nhớ rằng 7^101 = 7 * 7^100.
Do đó, 7 / (6 7^101) = 7 / (6 7 7^100) = 1 / (6 7^100).

Vậy, ta có kết quả cuối cùng là:
B = 1/6 – 1/(6 * 7^100)

Để biểu diễn kết quả dưới dạng một phân số duy nhất, chúng ta có thể quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là 6 * 7^100.

B = (7^100) / (6 7^100) – 1 / (6 7^100)
B = (7^100 – 1) / (6 * 7^100)

Vậy là chúng ta đã tìm ra giá trị của B rồi!

Kết luận:
B = 1/7 + 1/7^2 + 1/7^3 + … + 1/7^100 = \( \frac{7^{100} – 1}{6 \cdot 7^{100}} \)

Cô hy vọng qua bài toán này, các em đã nắm vững cách biến đổi để tính tổng của một dãy số tương tự. Hãy nhớ ôn tập kỹ các quy tắc về lũy thừa và phân số nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!