Chào các em, thầy rất vui khi thấy các em hăng hái học tập và đặt câu hỏi. “Sắp hết điểm” không đáng lo, quan trọng là chúng ta hiểu bài và tích lũy được kiến thức. Cứ vững tâm, điểm số sẽ tự khắc cải thiện nhé.
Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết bài toán này. Đây là một dạng bài rút gọn biểu thức lượng giác quen thuộc, đòi hỏi các em phải nắm vững các công thức biến đổi. Chúng ta sẽ làm từng bước thật cẩn thận.

Để bài toán đơn giản hơn, chúng ta sẽ xử lý riêng phần tử số và mẫu số.

Bước 1: Rút gọn tử số

Tử số của chúng ta là \( \cos(a + \frac{\pi}{3}) + \cos(a – \frac{\pi}{3}) \).

Nhìn vào biểu thức này, các em có nhận ra công thức quen thuộc nào không? À, đúng rồi! Đây chính là dạng \( \cos(x) + \cos(y) \). Chúng ta sẽ áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích:
\[ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \]
Áp dụng vào tử số với \( x = a + \frac{\pi}{3} \) và \( y = a – \frac{\pi}{3} \), ta có:

Tử số \( = 2\cos\frac{(a + \frac{\pi}{3}) + (a – \frac{\pi}{3})}{2} \cdot \cos\frac{(a + \frac{\pi}{3}) – (a – \frac{\pi}{3})}{2} \)

\( = 2\cos\frac{2a}{2} \cdot \cos\frac{2\pi/3}{2} \)

\( = 2\cos(a) \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) \)

Chúng ta đều biết giá trị của \( \cos(\frac{\pi}{3}) \) là một giá trị đặc biệt: \( \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \).

Thay vào, ta được:

Tử số \( = 2\cos(a) \cdot \frac{1}{2} = \cos(a) \)

Vậy là chúng ta đã rút gọn xong tử số một cách rất gọn gàng!

Bước 2: Rút gọn mẫu số

Mẫu số của chúng ta là \( \cot a – \cot \frac{a}{2} \).

Trước hết, ta cần có điều kiện để biểu thức có nghĩa: \( \sin a \neq 0 \) và \( \sin \frac{a}{2} \neq 0 \).

Với biểu thức này, không có công thức biến đổi trực tiếp, nên cách tốt nhất là đưa về sin và cos. Ta có công thức \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \).

Mẫu số \( = \frac{\cos a}{\sin a} – \frac{\cos \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}} \)

Bây giờ, ta quy đồng mẫu số:

Mẫu số \( = \frac{\cos a \sin \frac{a}{2} – \cos \frac{a}{2} \sin a}{\sin a \sin \frac{a}{2}} \)

Các em hãy nhìn kỹ tử số của phân thức mới này: \( \sin \frac{a}{2} \cos a – \cos \frac{a}{2} \sin a \). Đây chính là công thức cộng cho sin:
\[ \sin(x-y) = \sin x \cos y – \cos x \sin y \]
Áp dụng với \( x = \frac{a}{2} \) và \( y = a \), ta có:

Tử số của phân thức này là \( \sin(\frac{a}{2} – a) = \sin(-\frac{a}{2}) \).

Sử dụng tính chất của hàm sin là hàm lẻ, \( \sin(-x) = -\sin x \), ta được:

\( \sin(-\frac{a}{2}) = -\sin\frac{a}{2} \)

Vậy, mẫu số của biểu thức B trở thành:

Mẫu số \( = \frac{-\sin \frac{a}{2}}{\sin a \sin \frac{a}{2}} \)

Vì điều kiện \( \sin \frac{a}{2} \neq 0 \), ta có thể rút gọn \( \sin \frac{a}{2} \) ở cả tử và mẫu:

Mẫu số \( = \frac{-1}{\sin a} \)

Bước 3: Kết hợp tử số và mẫu số để tìm B

Bây giờ, chúng ta chỉ cần lắp ghép kết quả từ Bước 1 và Bước 2 lại với nhau.

\( B = \frac{\text{Tử số}}{\text{Mẫu số}} = \frac{\cos a}{\frac{-1}{\sin a}} \)

Chia cho một phân số tức là nhân với nghịch đảo của nó:

\( B = \cos a \cdot (-\sin a) \)

\( B = -\sin a \cos a \)

Kết luận

Vậy, biểu thức rút gọn cuối cùng là \( B = -\sin a \cos a \).

Mở rộng thêm một chút: các em có nhớ công thức nhân đôi của sin không? \( \sin(2a) = 2\sin a \cos a \). Từ đó suy ra \( \sin a \cos a = \frac{1}{2}\sin(2a) \). Vậy, ta cũng có thể viết kết quả dưới dạng:
\[ B = -\frac{1}{2}\sin(2a) \]
Cả hai cách viết đều đúng nhé.

Bài toán không quá khó phải không các em? Điều quan trọng là các em phải nắm vững các công thức biến đổi lượng giác và nhận ra dạng của chúng khi làm bài. Hãy cố gắng luyện tập thêm nhé! Chúc các em học tốt