Chào tất cả các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, thầy rất vui được cùng các em khám phá một bài toán thú vị về tích các phân số. Đây là một dạng bài thường gặp, đòi hỏi chúng ta phải có tư duy quan sát và phân tích để tìm ra quy luật. Chúng ta hãy cùng nhau giải quyết bài toán này một cách cẩn thận và chi tiết nhé!

Đề bài yêu cầu chúng ta tính giá trị của biểu thức \(B\):
\[B=(1+7/9)(1+7/20)(1+7/33)…(1+7/2900)\]

Chúng ta sẽ giải bài toán này theo các bước sau:

Bước 1: Rút gọn biểu thức tổng quát của mỗi thừa số

Trước hết, chúng ta hãy xét một thừa số bất kỳ trong biểu thức \(B\), có dạng \(1 + \frac{7}{N}\).
Để cộng hai số này, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số:
\[1 + \frac{7}{N} = \frac{N}{N} + \frac{7}{N} = \frac{N+7}{N}\]
Vậy, mỗi thừa số trong biểu thức \(B\) có thể viết lại dưới dạng phân số \(\frac{N+7}{N}\).

Bước 2: Tìm quy luật của các mẫu số \(N\)

Các mẫu số trong biểu thức là \(9, 20, 33, \dots, 2900\).
Hãy quan sát kỹ các mẫu số này:
\[9 = 1 \times 9\]
\[20 = 2 \times 10\]
\[33 = 3 \times 11\]
Từ quy luật trên, chúng ta có thể nhận thấy rằng mẫu số thứ \(k\) (với \(k\) là số thứ tự của thừa số, bắt đầu từ \(k=1\)) có dạng tích của hai số, một số là \(k\) và số còn lại là \(k+8\).
Tức là, mẫu số thứ \(k\) là \(N_k = k(k+8)\).

Bây giờ, chúng ta cần tìm xem thừa số cuối cùng \(1 + \frac{7}{2900}\) là thừa số thứ bao nhiêu.
Ta có \(N_k = 2900\), tức là \(k(k+8) = 2900\).
Để tìm \(k\), chúng ta có thể thử các giá trị của \(k\) hoặc ước lượng.
Vì \(k(k+8)\) gần với \(k \times k = k^2\), nên \(k^2 \approx 2900\).
Ta có \(50^2 = 2500\) và \(60^2 = 3600\), vậy \(k\) sẽ nằm trong khoảng từ 50 đến 60.
Thử với \(k=50\):
\[50 \times (50+8) = 50 \times 58 = 2900\]
Vậy, thừa số cuối cùng là thừa số thứ 50, tức là \(k\) chạy từ 1 đến 50.

Bước 3: Viết lại biểu thức tổng quát của mỗi thừa số theo \(k\)

Với mỗi thừa số có dạng \(1 + \frac{7}{N_k}\) và \(N_k = k(k+8)\), chúng ta đã rút gọn được thành \(\frac{N_k+7}{N_k}\).
Thay \(N_k = k(k+8)\) vào tử số, ta được:
\[N_k+7 = k(k+8)+7 = k^2 + 8k + 7\]
Để phân tích đa thức \(k^2 + 8k + 7\) thành nhân tử (tích của hai biểu thức bậc nhất), chúng ta tìm hai số có tích bằng 7 và tổng bằng 8. Đó là 1 và 7.
Vậy, \(k^2 + 8k + 7 = (k+1)(k+7)\).

Như vậy, mỗi thừa số thứ \(k\) trong biểu thức \(B\) có dạng:
\[\frac{(k+1)(k+7)}{k(k+8)}\]

Bước 4: Viết lại biểu thức \(B\) và thực hiện phép nhân (rút gọn theo kiểu “telescoping”)

Biểu thức \(B\) sẽ là tích của 50 thừa số dạng trên, từ \(k=1\) đến \(k=50\):
\[B = \prod_{k=1}^{50} \frac{(k+1)(k+7)}{k(k+8)}\]
Chúng ta hãy viết ra vài thừa số đầu tiên và vài thừa số cuối cùng để thấy rõ quy luật rút gọn:

Với \(k=1\): \(\frac{(1+1)(1+7)}{1(1+8)} = \frac{2 \times 8}{1 \times 9}\)

Với \(k=2\): \(\frac{(2+1)(2+7)}{2(2+8)} = \frac{3 \times 9}{2 \times 10}\)

Với \(k=3\): \(\frac{(3+1)(3+7)}{3(3+8)} = \frac{4 \times 10}{3 \times 11}\)

Với \(k=4\): \(\frac{(4+1)(4+7)}{4(4+8)} = \frac{5 \times 11}{4 \times 12}\)

…

Với \(k=49\): \(\frac{(49+1)(49+7)}{49(49+8)} = \frac{50 \times 56}{49 \times 57}\)

Với \(k=50\): \(\frac{(50+1)(50+7)}{50(50+8)} = \frac{51 \times 57}{50 \times 58}\)

Bây giờ chúng ta viết toàn bộ biểu thức \(B\) dưới dạng tích và quan sát các số có thể rút gọn:
\[B = \frac{2 \times 8}{1 \times 9} \times \frac{3 \times 9}{2 \times 10} \times \frac{4 \times 10}{3 \times 11} \times \frac{5 \times 11}{4 \times 12} \times \dots \times \frac{50 \times 56}{49 \times 57} \times \frac{51 \times 57}{50 \times 58}\]
Để dễ hình dung việc rút gọn, chúng ta có thể nhóm các nhân tử lại:
\[B = \left(\frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \dots \times \frac{50}{49} \times \frac{51}{50}\right) \times \left(\frac{8}{9} \times \frac{9}{10} \times \frac{10}{11} \times \frac{11}{12} \times \dots \times \frac{56}{57} \times \frac{57}{58}\right)\]
Quan sát nhóm đầu tiên:
\[\frac{\textbf{2}}{1} \times \frac{\textbf{3}}{\textbf{2}} \times \frac{\textbf{4}}{\textbf{3}} \times \frac{\textbf{5}}{\textbf{4}} \times \dots \times \frac{\textbf{50}}{\textbf{49}} \times \frac{51}{\textbf{50}}\]
Các số in đậm trên tử và dưới mẫu sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Kết quả của nhóm này là \(\frac{51}{1} = 51\).

Quan sát nhóm thứ hai:
\[\frac{8}{\textbf{9}} \times \frac{\textbf{9}}{\textbf{10}} \times \frac{\textbf{10}}{\textbf{11}} \times \frac{\textbf{11}}{\textbf{12}} \times \dots \times \frac{\textbf{56}}{\textbf{57}} \times \frac{\textbf{57}}{58}\]
Tương tự, các số in đậm trên tử và dưới mẫu sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Kết quả của nhóm này là \(\frac{8}{58}\).

Bước 5: Tính kết quả cuối cùng

Bây giờ chúng ta nhân kết quả của hai nhóm lại với nhau:
\[B = 51 \times \frac{8}{58}\]
Chúng ta có thể rút gọn phân số \(\frac{8}{58}\) bằng cách chia cả tử và mẫu cho 2:
\[\frac{8}{58} = \frac{8 \div 2}{58 \div 2} = \frac{4}{29}\]
Vậy,
\[B = 51 \times \frac{4}{29}\]
\[B = \frac{51 \times 4}{29}\]
\[B = \frac{204}{29}\]
Phân số \(\frac{204}{29}\) là phân số tối giản vì 29 là số nguyên tố và 204 không chia hết cho 29 ( \(29 \times 7 = 203\)).

Vậy, giá trị của biểu thức \(B\) là \(\frac{204}{29}\).

Các em thấy đó, một bài toán nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích từng bước, tìm ra quy luật và thực hiện rút gọn cẩn thận, thì kết quả sẽ hiện ra một cách rõ ràng. Kỹ năng quan sát, phân tích và kiên nhẫn là chìa khóa để giải quyết các bài toán Toán học hay và khó. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững các dạng bài này nhé!