Đề bài cho chúng ta ba số phân biệt có tổng là 217. Ba số này có hai mối quan hệ:
1. Là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.
2. Là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng.

Chúng ta cần tìm xem phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820.

Trước hết, chúng ta sẽ gọi ba số phân biệt đó là a, b, c.

Bước 1: Thiết lập mối quan hệ từ cấp số nhân

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên ta có công thức:
\( b^2 = a \cdot c \)

Chúng ta cũng có thông tin về tổng của ba số này:
\( a + b + c = 217 \)

Bước 2: Thiết lập mối quan hệ từ cấp số cộng

Gọi cấp số cộng đó là \(u_1, u_2, u_3, …\) với công sai là d.
Theo đề bài, ba số a, b, c lần lượt là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của cấp số cộng này.
Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là \( u_n = u_1 + (n-1)d \).

Vậy:
\( a = u_2 = u_1 + (2-1)d = u_1 + d \) (1)
\( b = u_9 = u_1 + (9-1)d = u_1 + 8d \) (2)
\( c = u_{44} = u_1 + (44-1)d = u_1 + 43d \) (3)

Bước 3: Sử dụng mối quan hệ giữa a, b, c để tìm u1 và d

Từ (1) và (2), ta có:
\( b – a = (u_1 + 8d) – (u_1 + d) = 7d \)
Do đó, \( b = a + 7d \)

Từ (2) và (3), ta có:
\( c – b = (u_1 + 43d) – (u_1 + 8d) = 35d \)
Do đó, \( c = b + 35d \)

Bây giờ, ta thay \(b = a + 7d\) và \(c = b + 35d = (a + 7d) + 35d = a + 42d\) vào phương trình \(a + b + c = 217\):
\( a + (a + 7d) + (a + 42d) = 217 \)
\( 3a + 49d = 217 \) (4)

Tiếp theo, ta thay \(a, b, c\) theo \(u_1\) và \(d\) vào mối quan hệ \(b^2 = a \cdot c\):
\( (u_1 + 8d)^2 = (u_1 + d)(u_1 + 43d) \)
\( u_1^2 + 16u_1d + 64d^2 = u_1^2 + 43u_1d + u_1d + 43d^2 \)
\( u_1^2 + 16u_1d + 64d^2 = u_1^2 + 44u_1d + 43d^2 \)

Triệt tiêu \(u_1^2\) ở hai vế:
\( 16u_1d + 64d^2 = 44u_1d + 43d^2 \)

Chuyển vế các hạng tử:
\( 64d^2 – 43d^2 = 44u_1d – 16u_1d \)
\( 21d^2 = 28u_1d \)

Vì ba số phân biệt nên \(d \neq 0\). Ta có thể chia cả hai vế cho d:
\( 21d = 28u_1 \)

Rút gọn phương trình này bằng cách chia cho 7:
\( 3d = 4u_1 \)
Suy ra \( d = \frac{4}{3}u_1 \) (5)

Bước 4: Tìm giá trị cụ thể của u1 và d

Bây giờ, ta thay biểu thức của d từ (5) vào phương trình (4):
\( 3a + 49d = 217 \)
Ta biết \(a = u_1 + d\). Thay \(a\) và \(d\) theo \(u_1\):
\( 3(u_1 + d) + 49d = 217 \)
\( 3u_1 + 3d + 49d = 217 \)
\( 3u_1 + 52d = 217 \)

Thay \(d = \frac{4}{3}u_1\) vào phương trình trên:
\( 3u_1 + 52 \left( \frac{4}{3}u_1 \right) = 217 \)
\( 3u_1 + \frac{208}{3}u_1 = 217 \)

Quy đồng mẫu số:
\( \frac{9u_1}{3} + \frac{208u_1}{3} = 217 \)
\( \frac{9u_1 + 208u_1}{3} = 217 \)
\( \frac{217u_1}{3} = 217 \)

Nhân cả hai vế với 3 và chia cho 217:
\( u_1 = 3 \)

Bây giờ, ta tìm d từ \( d = \frac{4}{3}u_1 \):
\( d = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4 \)

Vậy, cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = 3\) và công sai \(d = 4\).

Bước 5: Tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Đề bài yêu cầu tìm số hạng n sao cho tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng này bằng 820.
Công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng là:
\( S_n = \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d] \)

Chúng ta có \(S_n = 820\), \(u_1 = 3\), \(d = 4\). Thay các giá trị này vào công thức:
\( 820 = \frac{n}{2} [2 \cdot 3 + (n-1)4] \)
\( 820 = \frac{n}{2} [6 + 4n – 4] \)
\( 820 = \frac{n}{2} [4n + 2] \)

Nhân cả hai vế với 2:
\( 1640 = n(4n + 2) \)
\( 1640 = 4n^2 + 2n \)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:
\( 4n^2 + 2n – 1640 = 0 \)

Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản hóa phương trình:
\( 2n^2 + n – 820 = 0 \)

Bước 6: Giải phương trình bậc hai để tìm n

Chúng ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(Ax^2 + Bx + C = 0\), với \(A = 2\), \(B = 1\), \(C = -820\).
Delta \( \Delta = B^2 – 4AC \)
\( \Delta = 1^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-820) \)
\( \Delta = 1 + 6560 \)
\( \Delta = 6561 \)

Kiểm tra xem 6561 có phải là số chính phương không. Ta có \(80^2 = 6400\) và \(90^2 = 8100\). Số tận cùng là 1, nên có thể là \(81^2\).
\( 81 \times 81 = 6561 \). Vậy \( \sqrt{\Delta} = 81 \).

Nghiệm của phương trình là:
\( n = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A} \)

Ta có hai nghiệm:
\( n_1 = \frac{-1 + 81}{2 \cdot 2} = \frac{80}{4} = 20 \)
\( n_2 = \frac{-1 – 81}{2 \cdot 2} = \frac{-82}{4} = -\frac{41}{2} \)

Vì n là số hạng, nên n phải là một số nguyên dương. Do đó, ta loại nghiệm \(n_2 = -\frac{41}{2}\).

Vậy, \( n = 20 \).

Kết luận:

Phải lấy 20 số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820.

Các em về nhà ôn lại các công thức về cấp số nhân và cấp số cộng, cũng như cách giải phương trình bậc hai để có thể giải tốt các bài toán tương tự nhé. Có chỗ nào chưa hiểu, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy.