Bài 1 : a, Cho A = 2 + 2 mũ 2 + 2 mũ 3 + … + 2 mũ 60
Chứng tỏ rằng A chia hết…
Chứng tỏ rằng A chia hết cho 3
b, Cho B = 3 + 3 mũ 2 + 3 mũ 3 + … + 3 mũ 20
Chứng tỏ rằng B chia hết cho 12
Giải bài tập:
a, Cho \(A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{60}\). Chứng tỏ rằng \(A\) chia hết cho \(3\).
Đây là một tổng gồm rất nhiều số hạng, và chúng ta cần chứng tỏ tổng này chia hết cho \(3\). Để làm được điều này, chúng ta sẽ thử nhóm các số hạng lại với nhau.
Bước 1: Quan sát và tìm quy luật nhóm các số hạng.
Chúng ta hãy thử cộng hai số hạng đầu tiên:
\(2 + 2^2 = 2 + 4 = 6\)
Ta thấy \(6\) chia hết cho \(3\). Vậy, chúng ta có thể thử nhóm mỗi hai số hạng lại với nhau.
Bước 2: Nhóm các số hạng của tổng \(A\) thành từng cặp.
Tổng \(A\) có \(60\) số hạng (từ \(2^1\) đến \(2^{60}\)). Khi nhóm mỗi hai số hạng, chúng ta sẽ có \(60 \div 2 = 30\) cặp.
\[A = (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + … + (2^{59} + 2^{60})\]
Bước 3: Phân tích từng cặp số hạng.
Xét mỗi cặp số hạng có dạng \(2^{n} + 2^{n+1}\). Chúng ta sẽ đặt thừa số chung ra ngoài:
\[2^{n} + 2^{n+1} = 2^{n} \cdot (1 + 2) = 2^{n} \cdot 3\]
Như vậy, mỗi cặp số hạng đều có thừa số \(3\).
Bước 4: Thực hiện phân tích cho tất cả các cặp trong tổng \(A\).
Áp dụng cách phân tích trên cho từng cặp:
\begin{align*} A &= (2 \cdot 1 + 2 \cdot 2) + (2^3 \cdot 1 + 2^3 \cdot 2) + … + (2^{59} \cdot 1 + 2^{59} \cdot 2) \\ &= 2 \cdot (1 + 2) + 2^3 \cdot (1 + 2) + … + 2^{59} \cdot (1 + 2) \\ &= 2 \cdot 3 + 2^3 \cdot 3 + … + 2^{59} \cdot 3 \end{align*}
Bước 5: Đặt thừa số chung \(3\) ra ngoài.
Bây giờ, chúng ta thấy tất cả các số hạng trong tổng đều có thừa số \(3\), vậy chúng ta có thể đặt \(3\) làm thừa số chung:
\[A = 3 \cdot (2 + 2^3 + … + 2^{59})\]
Kết luận:
Vì \(A\) có thể viết dưới dạng \(3\) nhân với một tổng khác (là \(2 + 2^3 + … + 2^{59}\)), nên \(A\) chắc chắn chia hết cho \(3\).
Vậy, \(A\) chia hết cho \(3\).
—————————————————-
b, Cho \(B = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{20}\). Chứng tỏ rằng \(B\) chia hết cho \(12\).
Để chứng tỏ \(B\) chia hết cho \(12\), chúng ta cần chứng tỏ \(B\) chia hết cho \(3\) và \(B\) chia hết cho \(4\). Vì \(3\) và \(4\) là hai số nguyên tố cùng nhau (\(ƯCLN(3, 4) = 1\)), nên nếu \(B\) chia hết cho cả \(3\) và \(4\), thì \(B\) sẽ chia hết cho tích của chúng là \(3 \times 4 = 12\).
Bước 1: Chứng tỏ \(B\) chia hết cho \(3\).
Quan sát tổng \(B = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{20}\).
Ta thấy:
- Số hạng đầu tiên là \(3\), chia hết cho \(3\).
- Các số hạng còn lại là \(3^2, 3^3, …, 3^{20}\) đều là lũy thừa của \(3\) với số mũ từ \(2\) trở lên. Điều này có nghĩa là mỗi số hạng này đều có chứa ít nhất một thừa số \(3\). Ví dụ: \(3^2 = 3 \times 3\), \(3^3 = 3 \times 3 \times 3\),… nên tất cả các số hạng này đều chia hết cho \(3\).
Vì tất cả các số hạng của tổng \(B\) đều chia hết cho \(3\), nên tổng \(B\) cũng chia hết cho \(3\).
Chúng ta có thể viết lại:
\[B = 3 \cdot (1 + 3 + 3^2 + … + 3^{19})\]
Rõ ràng \(B\) chia hết cho \(3\).
Bước 2: Chứng tỏ \(B\) chia hết cho \(4\).
Tương tự như phần a), chúng ta sẽ nhóm các số hạng của tổng \(B\) lại với nhau để tìm yếu tố chia hết cho \(4\).
Hãy thử cộng hai số hạng đầu tiên:
\(3 + 3^2 = 3 + 9 = 12\)
Ta thấy \(12\) chia hết cho \(4\). Vậy, chúng ta có thể thử nhóm mỗi hai số hạng lại với nhau.
Tổng \(B\) có \(20\) số hạng (từ \(3^1\) đến \(3^{20}\)). Khi nhóm mỗi hai số hạng, chúng ta sẽ có \(20 \div 2 = 10\) cặp.
\[B = (3 + 3^2) + (3^3 + 3^4) + … + (3^{19} + 3^{20})\]
Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích từng cặp số hạng:
Xét mỗi cặp số hạng có dạng \(3^{n} + 3^{n+1}\). Chúng ta sẽ đặt thừa số chung ra ngoài:
\[3^{n} + 3^{n+1} = 3^{n} \cdot (1 + 3) = 3^{n} \cdot 4\]
Như vậy, mỗi cặp số hạng đều có thừa số \(4\).
Thực hiện phân tích cho tất cả các cặp trong tổng \(B\):
\begin{align*} B &= (3 \cdot 1 + 3 \cdot 3) + (3^3 \cdot 1 + 3^3 \cdot 3) + … + (3^{19} \cdot 1 + 3^{19} \cdot 3) \\ &= 3 \cdot (1 + 3) + 3^3 \cdot (1 + 3) + … + 3^{19} \cdot (1 + 3) \\ &= 3 \cdot 4 + 3^3 \cdot 4 + … + 3^{19} \cdot 4 \end{align*}
Đặt thừa số chung \(4\) ra ngoài:
\[B = 4 \cdot (3 + 3^3 + … + 3^{19})\]
Vì \(B\) có thể viết dưới dạng \(4\) nhân với một tổng khác (là \(3 + 3^3 + … + 3^{19}\)), nên \(B\) chắc chắn chia hết cho \(4\).
Bước 3: Kết luận.
Chúng ta đã chứng tỏ được \(B\) chia hết cho \(3\) (ở Bước 1) và \(B\) chia hết cho \(4\) (ở Bước 2).
Vì \(3\) và \(4\) là hai số nguyên tố cùng nhau, nên nếu một số chia hết cho cả \(3\) và \(4\), thì số đó sẽ chia hết cho tích của chúng.
Do đó, \(B\) chia hết cho \(3 \times 4 = 12\).
Vậy, \(B\) chia hết cho \(12\).
Hy vọng qua phần hướng dẫn chi tiết này, các em đã nắm vững phương pháp giải các bài toán chứng minh tính chia hết của một tổng bằng cách nhóm các số hạng. Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!
Giải thích các bước giải:
a) \(A=2+2^2+2^3+…+2^{60}\)
\(=(2+2^2)+(2^3+2^4)+…+(2^{59}+2^{60})\)
\(=2(1+2)+2^3(1+2)+…+2^{59} (1+2)\)
\(=3(2+2^3+…+2^59) \)
Vì \(3\vdots 3\)
\(=> A\vdots3\)
b) \(B=3+3^2+3^3+…+3^{20}\)
\(=(3+3^2)+3^2(3+3^2)+…+3^{18} (3+3^2)\)
\(=12+3^2 . 12 + … + 3^{18} . 12\)
\(=12(1+3^2+…+3^{18})\)
Vì \(12\vdots 12\)
\(=> B\vdots12\)
\(a)\) – Ta có :
\(A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^59 + 2^60\)
\(= (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + … + (2^59 + 2^60)\)
\(= (2 + 4) + 2^2. (2 + 2^2) + … 2^58. (2 + 2^2)\)
\(= 6 + 2^2. 6 + … + 2^58. 6\)
\(= 6. (1 + 2^2 + … + 2^58)\)
– Ta lại có : \(6 vdots 3\)
\(=> 6. (1 + 2^2 + … 2^58) vdots 3\)
\(=> A vdots 3\)
\(b)\) – Ta có :
\(B = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^19 + 3^20\)
\(= (3 + 3^2) + (3^3 + 3^4) + … + (3^19 + 3^20)\)
\(= (3 + 9) + 3^2. (3 + 3^2) + … + 3^18. (3 + 3^2)\)
\(= 12 + 3^2. 12 + … + 3^18. 12\)
\(= 12. (1 + 3^2 + … + 3^18)\)
– Ta lại có : \(12 vdots 12\)
\(=> 12. (1 + 3^2 + … + 3^18) vdots 12\)
\(=> B vdots 12\)