—

Bài 1:

Phân tích đề bài:

Chúng ta có hai người đi ngược chiều nhau. Ban đầu, họ gặp nhau ở một điểm cách A 2km. Sau đó, có một sự thay đổi về thời gian xuất phát, và họ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Chúng ta cần tìm vận tốc của mỗi người.

Gọi ẩn:

* Gọi vận tốc của người đi từ A là \(v_A\) (km/h).
* Gọi vận tốc của người đi từ B là \(v_B\) (km/h).

Trường hợp 1: Cùng xuất phát, gặp nhau cách A 2km.

* Quãng đường AB dài 3,6km.
* Hai người đi ngược chiều nhau.
* Họ gặp nhau tại một điểm cách A 2km.

Điều này có nghĩa là:
* Người đi từ A đi được quãng đường là 2km.
* Người đi từ B đi được quãng đường là \(3,6\text{ km} – 2\text{ km} = 1,6\text{ km}\).

Vì hai người xuất phát cùng lúc và gặp nhau tại cùng một thời điểm, nên thời gian họ di chuyển là như nhau. Gọi thời gian này là \(t_1\) (h).

Ta có các công thức:
* Quãng đường = Vận tốc × Thời gian.

Áp dụng vào trường hợp này:
* Quãng đường người đi từ A đi được: \(2 = v_A \times t_1\) (1)
* Quãng đường người đi từ B đi được: \(1,6 = v_B \times t_1\) (2)

Từ (1) và (2), ta có thể suy ra mối quan hệ giữa hai vận tốc. Chia vế theo vế của (1) cho (2):
\[ \frac{2}{1,6} = \frac{v_A \times t_1}{v_B \times t_1} \]
\[ \frac{2}{1,6} = \frac{v_A}{v_B} \]
\[ \frac{20}{16} = \frac{v_A}{v_B} \]
\[ \frac{5}{4} = \frac{v_A}{v_B} \]
Suy ra: \(v_A = \frac{5}{4} v_B\) hoặc \(v_B = \frac{4}{5} v_A\).

Từ đây, ta thấy \(v_A > v_B\), vậy người đi từ A nhanh hơn, người đi từ B chậm hơn.

Sơ đồ minh họa Trường hợp 1:

A——————–M——————–B
<----- 2km -----> <--- 1.6km --->
<------------ 3.6km ------------>

Trong đó, M là điểm gặp nhau.
Người đi từ A: A —-> M (quãng đường 2km, thời gian \(t_1\))
Người đi từ B: B —-> M (quãng đường 1.6km, thời gian \(t_1\))

Trường hợp 2: Người đi chậm hơn xuất phát trước 6 phút, gặp nhau ở giữa quãng đường.

* Quãng đường AB là 3,6km.
* Điểm gặp nhau ở chính giữa quãng đường, tức là cách A là \(3,6\text{ km} / 2 = 1,8\text{ km}\) và cách B là 1,8km.
* Người đi chậm hơn (người đi từ B) xuất phát trước người kia (người đi từ A) 6 phút.
* Đổi 6 phút ra giờ: 6 phút = \(\frac{6}{60}\) giờ = \(\frac{1}{10}\) giờ = 0,1 giờ.

Gọi thời gian người đi từ A di chuyển là \(t_2\) (h).
Vì người đi từ B xuất phát trước 0,1 giờ, nên thời gian người đi từ B di chuyển là \(t_2 + 0,1\) (h).

Áp dụng công thức Quãng đường = Vận tốc × Thời gian:
* Quãng đường người đi từ A đi được: \(1,8 = v_A \times t_2\) (3)
* Quãng đường người đi từ B đi được: \(1,8 = v_B \times (t_2 + 0,1)\) (4)

Sơ đồ minh họa Trường hợp 2:

A——————–N——————–B
<----- 1.8km -----> <----- 1.8km ----->
<------------ 3.6km ------------>

Trong đó, N là điểm gặp nhau ở giữa quãng đường.
Người đi từ A: A —-> N (quãng đường 1.8km, thời gian \(t_2\))
Người đi từ B: B —-> N (quãng đường 1.8km, thời gian \(t_2 + 0.1\))

Giải hệ phương trình và tìm vận tốc:

Ta có:
* \(v_A = \frac{5}{4} v_B\) (từ Trường hợp 1)

Thay mối quan hệ này vào (3) và (4):

Từ (3): \(1,8 = \left(\frac{5}{4} v_B\right) \times t_2\) (5)
Từ (4): \(1,8 = v_B \times (t_2 + 0,1)\) (6)

Bây giờ, chúng ta có hai phương trình với hai ẩn là \(v_B\) và \(t_2\).
Từ (5), ta có thể rút ra \(t_2\):
\(t_2 = \frac{1,8}{\frac{5}{4} v_B} = \frac{1,8 \times 4}{5 v_B} = \frac{7,2}{5 v_B}\) (7)

Thay (7) vào (6):
\(1,8 = v_B \times \left(\frac{7,2}{5 v_B} + 0,1\right)\)
\(1,8 = v_B \times \frac{7,2}{5 v_B} + v_B \times 0,1\)
\(1,8 = \frac{7,2}{5} + 0,1 v_B\)
\(1,8 = 1,44 + 0,1 v_B\)

Chuyển 1,44 sang vế trái:
\(1,8 – 1,44 = 0,1 v_B\)
\(0,36 = 0,1 v_B\)

Suy ra \(v_B\):
\(v_B = \frac{0,36}{0,1} = 3,6\) (km/h)

Bây giờ, tìm \(v_A\) bằng cách sử dụng mối quan hệ \(v_A = \frac{5}{4} v_B\):
\(v_A = \frac{5}{4} \times 3,6\)
\(v_A = 5 \times \frac{3,6}{4}\)
\(v_A = 5 \times 0,9\)
\(v_A = 4,5\) (km/h)

Kiểm tra lại:

* Trường hợp 1:
* \(t_1 = \frac{2}{v_A} = \frac{2}{4,5} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}\) giờ.
* Quãng đường người đi từ B: \(v_B \times t_1 = 3,6 \times \frac{4}{9} = \frac{36}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{4 \times 4}{10} = \frac{16}{10} = 1,6\) km. (Đúng)
* Trường hợp 2:
* \(t_2 = \frac{1,8}{v_A} = \frac{1,8}{4,5} = \frac{18}{45} = \frac{2}{5}\) giờ.
* Thời gian người đi từ B: \(t_2 + 0,1 = \frac{2}{5} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\) giờ.
* Quãng đường người đi từ B: \(v_B \times (t_2 + 0,1) = 3,6 \times \frac{1}{2} = 1,8\) km. (Đúng)

Kết luận:

* Vận tốc của người đi từ A là 4,5 km/h.
* Vận tốc của người đi từ B là 3,6 km/h.

—

Bài 2:

Phân tích đề bài:

Chúng ta có hai người đi xe đạp từ hai địa điểm ngược chiều nhau. Bài toán cho thông tin về hai lần gặp nhau hoặc khoảng cách giữa họ.

Gọi ẩn:

* Gọi vận tốc của Bác Tài (đi từ thị xã về làng) là \(v_{BT}\) (km/h).
* Gọi vận tốc của cô Ba Ngân (đi từ làng lên thị xã) là \(v_{BN}\) (km/h).
* Khoảng cách từ làng đến thị xã là 38km.

Trường hợp 1: Lần gặp nhau đầu tiên.

* Bác Tài đi được 1 giờ 30 phút. Đổi ra giờ: 1 giờ 30 phút = \(1,5\) giờ.
* Cô Ba Ngân đi được 2 giờ.
* Họ gặp nhau.

Khi hai người gặp nhau, tổng quãng đường họ đi được bằng cả quãng đường từ thị xã đến làng.

* Quãng đường Bác Tài đi được: \(S_{BT1} = v_{BT} \times 1,5\) (km)
* Quãng đường cô Ba Ngân đi được: \(S_{BN1} = v_{BN} \times 2\) (km)

Ta có phương trình:
\[ S_{BT1} + S_{BN1} = 38 \]
\[ 1,5 v_{BT} + 2 v_{BN} = 38 \] (Phương trình A)

Sơ đồ minh họa Trường hợp 1:

Thị xã—————–M—————–Làng
<---- S_BT1 ----> <----- S_BN1 ----->
<------------ 38km ------------>

Trong đó, M là điểm gặp nhau.
Bác Tài: Thị xã —-> M (quãng đường \(S_{BT1}\), thời gian 1,5h)
Cô Ba Ngân: Làng —-> M (quãng đường \(S_{BN1}\), thời gian 2h)

Trường hợp 2: Lần gặp nhau thứ hai (hay còn cách nhau).

* Hai người khởi hành đồng thời.
* Sau 1 giờ 15 phút, họ còn cách nhau 10,5km.
* Đổi 1 giờ 15 phút ra giờ: 1 giờ 15 phút = \(1 + \frac{15}{60} = 1 + \frac{1}{4} = 1,25\) giờ.

Khi hai người đi ngược chiều và cùng xuất phát, quãng đường giữa họ giảm đi bằng tổng quãng đường họ đi được. Nếu sau một thời gian họ còn cách nhau một khoảng, thì tổng quãng đường họ đi được sẽ bằng tổng quãng đường ban đầu trừ đi khoảng cách còn lại.

* Quãng đường Bác Tài đi được trong 1,25 giờ: \(S_{BT2} = v_{BT} \times 1,25\) (km)
* Quãng đường cô Ba Ngân đi được trong 1,25 giờ: \(S_{BN2} = v_{BN} \times 1,25\) (km)

Tổng quãng đường họ đi được trong 1,25 giờ là: \(S_{BT2} + S_{BN2}\).
Quãng đường ban đầu là 38km. Sau 1,25 giờ, họ còn cách nhau 10,5km.
Điều này có nghĩa là:
Tổng quãng đường họ đi được = Quãng đường ban đầu – Khoảng cách còn lại
\[ (v_{BT} \times 1,25) + (v_{BN} \times 1,25) = 38 – 10,5 \]
\[ 1,25 (v_{BT} + v_{BN}) = 27,5 \]

Chia cả hai vế cho 1,25:
\[ v_{BT} + v_{BN} = \frac{27,5}{1,25} \]
\[ v_{BT} + v_{BN} = 22 \] (Phương trình B)

Sơ đồ minh họa Trường hợp 2:

Thị xã——————–X——————–Y——————–Làng
<---- S_BT2 ----> <---- S_BN2 ---->
<----------------------- 38km ----------------------->
<------- 10.5km -------> (Khoảng cách còn lại)

Trong đó, X là vị trí Bác Tài đi được sau 1,25h, Y là vị trí cô Ba Ngân đi được sau 1,25h.
Quãng đường XY là 10,5km.
Tổng quãng đường đi được \(S_{BT2} + S_{BN2} = 38 – 10,5 = 27,5\)km.

Giải hệ phương trình và tìm vận tốc:

Chúng ta có hệ hai phương trình với hai ẩn \(v_{BT}\) và \(v_{BN}\):
(A) \(1,5 v_{BT} + 2 v_{BN} = 38\)
(B) \(v_{BT} + v_{BN} = 22\)

Từ phương trình (B), ta có thể biểu diễn \(v_{BT}\) theo \(v_{BN}\) (hoặc ngược lại):
\(v_{BT} = 22 – v_{BN}\)

Thế biểu thức này vào phương trình (A):
\(1,5 (22 – v_{BN}) + 2 v_{BN} = 38\)
\(1,5 \times 22 – 1,5 v_{BN} + 2 v_{BN} = 38\)
\(33 + 0,5 v_{BN} = 38\)

Chuyển 33 sang vế phải:
\(0,5 v_{BN} = 38 – 33\)
\(0,5 v_{BN} = 5\)

Suy ra \(v_{BN}\):
\(v_{BN} = \frac{5}{0,5} = 10\) (km/h)

Bây giờ, tìm \(v_{BT}\) bằng cách thế giá trị \(v_{BN}\) vào biểu thức \(v_{BT} = 22 – v_{BN}\):
\(v_{BT} = 22 – 10\)
\(v_{BT} = 12\) (km/h)

Kiểm tra lại:

* Trường hợp 1:
* \(1,5 v_{BT} + 2 v_{BN} = 1,5 \times 12 + 2 \times 10 = 18 + 20 = 38\). (Đúng)
* Trường hợp 2:
* \(v_{BT} + v_{BN} = 12 + 10 = 22\). (Đúng)
* Tổng quãng đường đi được sau 1,25 giờ: \(1,25 \times (v_{BT} + v_{BN}) = 1,25 \times 22 = 27,5\).
* Khoảng cách còn lại: \(38 – 27,5 = 10,5\) km. (Đúng)

Kết luận:

* Vận tốc của Bác Tài là 12 km/h.
* Vận tốc của cô Ba Ngân là 10 km/h.

—

Các em thấy đấy, khi chúng ta phân tích đề bài thật kỹ, gọi ẩn phù hợp và vẽ sơ đồ minh họa, việc giải các bài toán chuyển động sẽ trở nên dễ dàng và logic hơn rất nhiều. Hãy luyện tập thật nhiều để nắm vững kiến thức này nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!