Chào các em, hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải các bài tập về khai triển biểu thức dựa trên kiến thức đã học trong Sách giáo khoa Toán lớp 8. Chúng ta cùng đi vào từng bài nhé.

b) x^2 – 8x + 16 =

Các em quan sát biểu thức này. Chúng ta thấy có \(x^2\) và có một số hạng tự do là 16, mà 16 = 4^2. Số hạng ở giữa là -8x. Liệu biểu thức này có dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu không nhỉ?

Chúng ta kiểm tra: \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
Ở đây, ta có thể xem \(a = x\) và \(b = 4\).
Khi đó, \(2ab = 2 \times x \times 4 = 8x\).
Biểu thức của chúng ta có \( -8x \), nên nó khớp với công thức.

Vậy:
\(x^2 – 8x + 16 = x^2 – 2 \times x \times 4 + 4^2\)
Đây chính là dạng \( (a-b)^2 \) với \(a=x\) và \(b=4\).
\(x^2 – 8x + 16 = (x-4)^2\)

c) (x+5)(x-5) =

Các em nhìn vào đây, chúng ta thấy đây là dạng tích của hai biểu thức mà một biểu thức có tổng và biểu thức kia có hiệu của cùng hai số hạng.
Chúng ta nhớ lại hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \)
Trong trường hợp này, ta có \(a = x\) và \(b = 5\).
Áp dụng công thức, ta được:
\( (x+5)(x-5) = x^2 – 5^2 \)
\( (x+5)(x-5) = x^2 – 25 \)

d) x^3 + 12x^2 + 48x + 64 =

Với biểu thức này, chúng ta thấy có số mũ cao nhất là 3, có 4 số hạng. Liệu đây có phải là hằng đẳng thức lập phương của một tổng không?
Chúng ta nhớ lại công thức: \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

Hãy thử xem biểu thức của chúng ta có khớp với dạng này không.
Số hạng đầu tiên là \(x^3\), vậy ta có thể coi \(a = x\).
Số hạng cuối cùng là 64. Chúng ta biết \(64 = 4^3\), vậy ta có thể coi \(b = 4\).

Bây giờ chúng ta kiểm tra hai số hạng ở giữa:
\(3a^2b = 3 \times x^2 \times 4 = 12x^2\). Biểu thức của chúng ta có \(12x^2\), khớp rồi.
\(3ab^2 = 3 \times x \times 4^2 = 3 \times x \times 16 = 48x\). Biểu thức của chúng ta có \(48x\), cũng khớp luôn.

Vậy, biểu thức đã cho chính là dạng \( (a+b)^3 \) với \(a=x\) và \(b=4\).
\(x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = (x+4)^3\)

e) x^3 – 6x^2 + 12x – 2 =

Các em quan sát biểu thức này. Có \(x^3\) và có số hạng tự do là -2.
Chúng ta có hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \( (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

Nếu ta coi \(a=x\), thì số hạng đầu tiên \(x^3\) khớp.
Nhưng số hạng cuối cùng là -2. Nó không phải là lập phương của một số nguyên nào cả.
Tuy nhiên, chúng ta hãy nhìn kỹ hơn. Nếu ta coi \(a=x\) và cố gắng tìm \(b\) từ các số hạng khác.
Số hạng thứ hai là \(-6x^2\). Theo công thức là \(-3a^2b\).
\( -3x^2b = -6x^2 \Rightarrow b = \frac{-6x^2}{-3x^2} = 2 \)

Bây giờ ta thử với \(a=x\) và \(b=2\).
\( (x-2)^3 = x^3 – 3 \times x^2 \times 2 + 3 \times x \times 2^2 – 2^3 \)
\( (x-2)^3 = x^3 – 6x^2 + 3 \times x \times 4 – 8 \)
\( (x-2)^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8 \)

So sánh với biểu thức đề bài cho: \(x^3 – 6x^2 + 12x – 2\)
Chúng ta thấy \(x^3 – 6x^2 + 12x\) giống nhau.
Chỉ khác ở số hạng cuối. Biểu thức \(x^3 – 6x^2 + 12x – 2\) có thể viết lại như sau:
\( (x^3 – 6x^2 + 12x – 8) + 6 \)
\( = (x-2)^3 + 6 \)

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu “khai triển”. Và biểu thức đã cho là dạng khai triển rồi. Có lẽ đề bài muốn chúng ta nhìn xem nó có giống dạng nào của hằng đẳng thức không và rút gọn nó lại. Nhưng nếu hiểu là khai triển từ dạng thu gọn, thì chúng ta đã có dạng khai triển.

Nếu đề bài muốn viết lại biểu thức theo một hằng đẳng thức nào đó mà gần nhất, thì cách trên là hợp lý. Nhưng nếu chỉ yêu cầu “khai triển”, thì biểu thức đã cho là dạng khai triển rồi.

Giả sử đề bài muốn ta đưa về dạng tích hoặc một dạng đơn giản hơn nếu có thể, thì bài này không đưa về dạng đơn giản hơn theo hằng đẳng thức.

Chúng ta giả định rằng đề bài có thể sai hoặc muốn kiểm tra sự nhận biết hằng đẳng thức. Nếu đề bài là \(x^3 – 6x^2 + 12x – 8\), thì đáp án sẽ là \( (x-2)^3 \).
Còn với đề bài \(x^3 – 6x^2 + 12x – 2\), thì nó là dạng khai triển rồi.
Tuy nhiên, trong chương trình lớp 8, các bài tập thường yêu cầu đưa về dạng bình phương hoặc lập phương của một tổng/hiệu.

Trong trường hợp này, chúng ta thấy rằng \(x^3 – 6x^2 + 12x\) là một phần của \( (x-2)^3 \).
\( (x-2)^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8 \)
Do đó, \( x^3 – 6x^2 + 12x = (x-2)^3 + 8 \)
Thay vào biểu thức ban đầu:
\( x^3 – 6x^2 + 12x – 2 = (x-2)^3 + 8 – 2 = (x-2)^3 + 6 \)
Đây là một cách viết lại biểu thức, không phải là khai triển.

Nếu đề bài đúng là “khai triển” và yêu cầu viết ra dạng từng số hạng, thì biểu thức đã cho chính là kết quả của một phép khai triển nào đó mà chúng ta không biết trước.

Vì mục tiêu là “khai triển”, chúng ta sẽ xem xét các bài khác. Nếu đề bài này là một phần của bài tập yêu cầu “rút gọn” hoặc “biến đổi”, thì cách viết lại là \( (x-2)^3 + 6 \) sẽ phù hợp. Nhưng với từ “khai triển”, thì nó hơi mâu thuẫn.

Thầy tạm bỏ qua câu này và sẽ quay lại nếu có thêm thông tin hoặc nếu nó liên quan đến các phép toán ngược.

f) (x+2)(x^2-2x+4) =

Chúng ta nhận thấy đây là dạng tích của một tổng với một tam thức.
Hãy nhớ lại hằng đẳng thức tổng hai lập phương: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \)

Chúng ta xem xét hai vế của công thức này.
Vế phải là \( (a+b)(a^2 – ab + b^2) \).
Đề bài của chúng ta là \( (x+2)(x^2-2x+4) \).
Chúng ta có thể đặt \(a = x\) và \(b = 2\).
Khi đó:
\(a+b = x+2\) (khớp với thừa số đầu tiên)
\(a^2 = x^2\) (khớp với số hạng đầu tiên của tam thức)
\(ab = x \times 2 = 2x\) (khớp với số hạng thứ hai của tam thức, có dấu trừ)
\(b^2 = 2^2 = 4\) (khớp với số hạng thứ ba của tam thức)

Vậy, biểu thức đã cho chính là dạng \( (a+b)(a^2 – ab + b^2) \) với \(a=x\) và \(b=2\).
Áp dụng công thức, ta được:
\( (x+2)(x^2-2x+4) = x^3 + 2^3 \)
\( (x+2)(x^2-2x+4) = x^3 + 8 \)

g) (x-3)(x+3x+9)

Tương tự như câu f, chúng ta nhận thấy đây có vẻ là dạng tích của một hiệu với một tam thức.
Hãy nhớ lại hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \( a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \)

Chúng ta xem xét hai vế của công thức này.
Vế phải là \( (a-b)(a^2 + ab + b^2) \).
Đề bài của chúng ta là \( (x-3)(x+3x+9) \).
Trước hết, chúng ta cần rút gọn tam thức: \( x+3x+9 = 4x+9 \).
Như vậy, đề bài trở thành \( (x-3)(4x+9) \).
Đây không còn là dạng hằng đẳng thức \( (a-b)(a^2 + ab + b^2) \) nữa.

Có lẽ đề bài gõ nhầm. Nếu tam thức là \(x^2 + 3x + 9\), thì nó sẽ khớp với hằng đẳng thức.
Giả sử đề bài đúng là \( (x-3)(x^2+3x+9) \):
Ta đặt \(a = x\) và \(b = 3\).
Khi đó:
\(a-b = x-3\) (khớp với thừa số đầu tiên)
\(a^2 = x^2\) (khớp với số hạng đầu tiên của tam thức)
\(ab = x \times 3 = 3x\) (khớp với số hạng thứ hai của tam thức)
\(b^2 = 3^2 = 9\) (khớp với số hạng thứ ba của tam thức)

Nếu đề bài đúng là \( (x-3)(x^2+3x+9) \), thì áp dụng công thức hiệu hai lập phương:
\( (x-3)(x^2+3x+9) = x^3 – 3^3 \)
\( (x-3)(x^2+3x+9) = x^3 – 27 \)

Tuy nhiên, với đề bài gốc là \( (x-3)(x+3x+9) \), chúng ta phải tính trực tiếp:
\( (x-3)(x+3x+9) = (x-3)(4x+9) \)
Khai triển bằng phương pháp phân phối:
\( = x(4x+9) – 3(4x+9) \)
\( = 4x^2 + 9x – 12x – 27 \)
\( = 4x^2 – 3x – 27 \)
Nếu đề bài là \( (x-3)(x+3x+9) \), thì kết quả là \(4x^2 – 3x – 27\).

Nhưng theo ngữ cảnh của các câu khác, rất có thể đề bài gõ nhầm và muốn ám chỉ hằng đẳng thức. Giả sử đề bài muốn ám chỉ hằng đẳng thức \(a^3-b^3\).

Thầy sẽ giải theo cả hai hướng để các em thấy rõ.
Hướng 1: Nếu đề bài gõ nhầm, đúng là \( (x-3)(x^2+3x+9) \)
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \( a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \)
Ở đây \(a=x\), \(b=3\).
\( (x-3)(x^2+3x+9) = x^3 – 3^3 = x^3 – 27 \)

Hướng 2: Nếu đề bài là chính xác \( (x-3)(x+3x+9) \)
\( (x-3)(x+3x+9) = (x-3)(4x+9) \)
\( = x(4x+9) – 3(4x+9) \)
\( = 4x^2 + 9x – 12x – 27 \)
\( = 4x^2 – 3x – 27 \)

Vì các bài tập khác đều liên quan đến hằng đẳng thức, thầy giả định đề bài muốn kiểm tra hằng đẳng thức và hướng 1 là đáp án mong muốn. Nhưng các em cần lưu ý cách đọc đề bài cẩn thận.

h) x^2 + 2x + 1 =

Chúng ta thấy có \(x^2\), có số hạng tự do là 1 (\(1=1^2\)), và số hạng ở giữa là \(2x\).
Đây có dạng của hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Với \(a=x\) và \(b=1\):
\(2ab = 2 \times x \times 1 = 2x\). Khớp rồi.
Vậy:
\(x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2 \times x \times 1 + 1^2 = (x+1)^2\)

i) x^2 – 1 =

Chúng ta thấy đây là hiệu của hai bình phương.
Nhớ lại hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( a^2 – b^2 = (a+b)(a-b) \)
Ở đây, \(a^2 = x^2 \Rightarrow a = x\)
Và \(b^2 = 1 \Rightarrow b = 1\)
Vậy:
\(x^2 – 1 = x^2 – 1^2 = (x+1)(x-1)\)

k) x^2 + 6x + 9 =

Quan sát: \(x^2\), số hạng tự do \(9 = 3^2\), số hạng ở giữa \(6x\).
Kiểm tra hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Với \(a=x\) và \(b=3\):
\(2ab = 2 \times x \times 3 = 6x\). Khớp rồi.
Vậy:
\(x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = (x+3)^2\)

l) 4^2 – 9 =

Đây là hiệu của hai bình phương.
Ta có thể tính trực tiếp hoặc dùng hằng đẳng thức.
Nếu tính trực tiếp: \(4^2 = 16\). \(16 – 9 = 7\).
Nếu dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( a^2 – b^2 = (a+b)(a-b) \)
Ở đây, \(a^2 = 4^2 \Rightarrow a = 4\)
Và \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\)
Vậy:
\(4^2 – 9 = (4+3)(4-3) = 7 \times 1 = 7\)
Cả hai cách đều cho kết quả là 7.

m) 9x^2 + 6x + 1 =

Quan sát: \(9x^2 = (3x)^2\), số hạng tự do \(1 = 1^2\), số hạng ở giữa \(6x\).
Kiểm tra hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Với \(a=3x\) và \(b=1\):
\(2ab = 2 \times (3x) \times 1 = 6x\). Khớp rồi.
Vậy:
\(9x^2 + 6x + 1 = (3x)^2 + 2 \times (3x) \times 1 + 1^2 = (3x+1)^2\)

n) 16x^2 – 8x + 1 =

Quan sát: \(16x^2 = (4x)^2\), số hạng tự do \(1 = 1^2\), số hạng ở giữa \(-8x\).
Kiểm tra hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
Với \(a=4x\) và \(b=1\):
\(2ab = 2 \times (4x) \times 1 = 8x\). Số hạng ở giữa là \(-8x\), khớp rồi.
Vậy:
\(16x^2 – 8x + 1 = (4x)^2 – 2 \times (4x) \times 1 + 1^2 = (4x-1)^2\)

o) 36x^2 + 36x + 9 =

Quan sát: \(36x^2 = (6x)^2\), số hạng tự do \(9 = 3^2\), số hạng ở giữa \(36x\).
Kiểm tra hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Với \(a=6x\) và \(b=3\):
\(2ab = 2 \times (6x) \times 3 = 36x\). Khớp rồi.
Vậy:
\(36x^2 + 36x + 9 = (6x)^2 + 2 \times (6x) \times 3 + 3^2 = (6x+3)^2\)
Ta cũng có thể rút gọn thêm: \( (6x+3)^2 = (3(2x+1))^2 = 3^2 (2x+1)^2 = 9(2x+1)^2 \). Tuy nhiên, nếu yêu cầu khai triển thì \( (6x+3)^2 \) là dạng thu gọn.

p) x^3 + 27 =

Chúng ta thấy đây là tổng của hai lập phương.
Nhớ lại hằng đẳng thức tổng hai lập phương: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \)
Ở đây, \(a^3 = x^3 \Rightarrow a = x\)
Và \(b^3 = 27 \Rightarrow b = 3\) (vì \(3^3 = 27\))
Áp dụng công thức:
\(x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 – x \times 3 + 3^2)\)
\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2 – 3x + 9)\)

Vừa rồi là toàn bộ các bài tập về khai triển biểu thức. Các em về nhà xem lại các hằng đẳng thức đã học và luyện tập thêm nhé. Nếu có bài nào chưa hiểu, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy. Chúc các em học tốt!