Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích bài toán này, từng bước một, giống như cách chúng ta xây dựng một ngôi nhà vậy.

Bài 1: Đội công nhân sửa đường

Đề bài cho chúng ta biết:
– Ngày thứ nhất, đội công nhân sửa được \(\frac{4}{5}\) đoạn đường.
– Ngày thứ hai, đội công nhân sửa được \(\frac{1}{3}\) đoạn đường.

Đề bài yêu cầu chúng ta trả lời hai câu hỏi:
a) Hỏi đội công nhân đó sửa được bao nhiêu đoạn đường (tổng cộng cả hai ngày)?
b) Hỏi đội công nhân còn phải sửa nốt bao nhiêu đoạn đường nữa?

Chúng ta sẽ đi vào giải quyết từng câu hỏi một.

Câu a) Hỏi đội công nhân đó sửa được bao nhiêu đoạn đường?

Để biết cả hai ngày đội công nhân sửa được bao nhiêu đoạn đường, chúng ta cần cộng số đoạn đường sửa được của ngày thứ nhất và ngày thứ hai lại với nhau.

Đây là phép cộng hai phân số. Các em còn nhớ cách cộng hai phân số khác mẫu số không nào? Chúng ta sẽ phải quy đồng mẫu số cho hai phân số đó.

Phân số chỉ số đoạn đường sửa được ngày thứ nhất là \(\frac{4}{5}\).
Phân số chỉ số đoạn đường sửa được ngày thứ hai là \(\frac{1}{3}\).

Mẫu số của hai phân số này lần lượt là 5 và 3.
Bội chung nhỏ nhất của 5 và 3 là 15.
Vậy, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số về 15.

Để phân số \(\frac{4}{5}\) có mẫu số là 15, ta nhân cả tử số và mẫu số với 3:
\(\frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15}\)

Để phân số \(\frac{1}{3}\) có mẫu số là 15, ta nhân cả tử số và mẫu số với 5:
\(\frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}\)

Bây giờ, chúng ta có thể cộng hai phân số đã quy đồng mẫu số:
\(\frac{12}{15} + \frac{5}{15} = \frac{12 + 5}{15} = \frac{17}{15}\)

À, các em để ý nhé, \(\frac{17}{15}\) là một phân số lớn hơn 1. Điều này có nghĩa là đội công nhân đã sửa được nhiều hơn một đoạn đường rồi. Điều này hoàn toàn có thể xảy ra trong thực tế, có thể đoạn đường được chia thành nhiều phần nhỏ để sửa.

Vậy, cả hai ngày, đội công nhân sửa được \(\frac{17}{15}\) đoạn đường.

Câu b) Hỏi đội công nhân còn phải sửa nốt bao nhiêu đoạn đường nữa?

Để biết đội công nhân còn phải sửa nốt bao nhiêu đoạn đường, chúng ta cần lấy tổng số đoạn đường cần sửa (coi như là 1 đoạn đường trọn vẹn) trừ đi số đoạn đường đã sửa được.

Số đoạn đường cần sửa là 1. Chúng ta sẽ viết số 1 dưới dạng phân số có mẫu số là 15 để dễ dàng trừ đi phân số đã sửa được.
\(1 = \frac{15}{15}\)

Số đoạn đường đã sửa được là \(\frac{17}{15}\).

Vậy, số đoạn đường còn phải sửa là:
\(\frac{15}{15} – \frac{17}{15} = \frac{15 – 17}{15} = \frac{-2}{15}\)

Hmm, kết quả \(\frac{-2}{15}\) là một số âm. Điều này cho thấy có điều gì đó không đúng trong cách hiểu của chúng ta về “đoạn đường cần sửa”.

Trong bài toán này, khi nói đến “sửa được \(\frac{4}{5}\) đoạn đường” và “\(\frac{1}{3}\) đoạn đường”, chúng ta đang xem xét mỗi con số đó như là một phần của một “đoạn đường hoàn chỉnh”. Tuy nhiên, khi cộng lại \(\frac{4}{5} + \frac{1}{3} = \frac{17}{15}\), số phần đường đã sửa lại lớn hơn 1.

Có hai cách hiểu trong trường hợp này:

Cách hiểu 1: Coi “đoạn đường” là một đơn vị đo lường cố định, và đội công nhân đã sửa nhiều hơn một “đoạn đường”.
Nếu hiểu theo cách này, thì câu hỏi “còn phải sửa nốt bao nhiêu đoạn đường nữa” có thể được hiểu là: Nếu dự kiến sửa một đoạn đường, thì bây giờ đã sửa “lố” bao nhiêu? Hoặc có thể là đoạn đường thực tế dài hơn 1 đơn vị “đoạn đường” ban đầu. Nhưng với cấp lớp 5, cách hiểu này có thể hơi phức tạp.

Cách hiểu 2: Bài toán ngụ ý “đoạn đường” là tổng cộng một đơn vị công việc cần hoàn thành, và chúng ta sẽ tính xem phần còn lại là bao nhiêu so với một đơn vị công việc đó.
Trong trường hợp này, nếu tổng số phần đường sửa được là \(\frac{17}{15}\), mà ta coi “cả đoạn đường” là \(\frac{15}{15}\) (tức là 1 đơn vị công việc), thì có nghĩa là đội công nhân đã hoàn thành vượt mức yêu cầu ban đầu.

Tuy nhiên, đề bài thường ra theo hướng để học sinh có thể tính được một kết quả hợp lý trong phạm vi bài học. Cô nghĩ rằng, có thể đề bài muốn chúng ta hiểu là tổng số phần đường cần sửa là 1 đơn vị (tức là 1 đoạn đường trọn vẹn).

Nếu chúng ta giả sử tổng cộng cần sửa là 1 đoạn đường, thì câu hỏi b) trở nên mâu thuẫn với kết quả câu a). Bởi vì \(\frac{17}{15}\) đã lớn hơn 1 rồi.

Trong trường hợp này, cô xin giải thích cho các em theo hướng mà đa số các bài tập dạng này ở lớp 5 thường được hiểu, đó là:
– Đội công nhân có một khối lượng công việc cần hoàn thành là 1 đơn vị (tức là 1 đoạn đường trọn vẹn).
– Họ đã sửa được \(\frac{4}{5}\) và \(\frac{1}{3}\) của cái khối lượng công việc đó.

Nhưng, khi cộng lại, chúng ta ra \(\frac{17}{15}\). Điều này có nghĩa là tổng số phần đường họ đã sửa được lớn hơn 1 đoạn đường.

Nếu đề bài muốn hỏi là “Còn lại bao nhiêu phần của một đoạn đường ban đầu?”, thì câu trả lời sẽ là \(\frac{-2}{15}\), có nghĩa là họ đã sửa xong 1 đoạn đường và còn sửa thêm \(\frac{2}{15}\) của một đoạn đường nữa.

Cô đoán là đề bài có lẽ muốn hỏi một cách khác, hoặc có thể em chép nhầm đề một chút. Tuy nhiên, nếu bám sát vào đề bài em đưa ra, thì chúng ta sẽ trả lời như sau:

a) Đội công nhân sửa được tổng cộng là \(\frac{17}{15}\) đoạn đường.

b) Nếu coi “cả đoạn đường” là 1 đơn vị (\(\frac{15}{15}\)), thì số đoạn đường còn phải sửa sẽ là:
\(\text{Số đoạn đường còn phải sửa} = \text{Tổng số đoạn đường cần sửa} – \text{Số đoạn đường đã sửa}\)
\(\text{Số đoạn đường còn phải sửa} = 1 – \frac{17}{15}\)
\(\text{Số đoạn đường còn phải sửa} = \frac{15}{15} – \frac{17}{15} = \frac{-2}{15}\)

Kết quả âm \(\frac{-2}{15}\) cho thấy đội công nhân đã sửa vượt mức yêu cầu ban đầu là 1 đoạn đường. Họ đã sửa được \(\frac{17}{15}\) đoạn đường, tức là nhiều hơn 1 đoạn đường.

Nếu đề bài muốn hỏi là “Hỏi đội công nhân còn phải sửa bao nhiêu phần của một đoạn đường nữa để hoàn thành một đoạn đường?” thì với kết quả \(\frac{17}{15}\) thì đội công nhân đã hoàn thành và vượt mức 1 đoạn đường.

Tuy nhiên, nếu đây là một bài tập trắc nghiệm và có các lựa chọn, hoặc nếu em có thể kiểm tra lại đề bài, cô nghĩ nó sẽ rõ ràng hơn. Với kiến thức lớp 5, cô sẽ hướng dẫn các em hiểu là đội công nhân đã sửa được \(\frac{17}{15}\) đoạn đường và họ đã hoàn thành yêu cầu (nếu yêu cầu là sửa 1 đoạn đường) và còn sửa thêm nữa.

Tóm lại:
a) Đội công nhân đó sửa được \(\frac{17}{15}\) đoạn đường.
b) Nếu xem “cả đoạn đường” là 1 đơn vị, thì đội công nhân đã sửa vượt mức yêu cầu và còn “thừa” \(\frac{2}{15}\) của đoạn đường đã sửa (so với yêu cầu 1 đoạn đường). Nói cách khác, để hoàn thành đúng 1 đoạn đường, họ không còn phải sửa gì nữa mà đã sửa nhiều hơn.

Các em có câu hỏi gì không nào? Đừng ngại hỏi cô nhé! Cô luôn ở đây để giúp các em hiểu bài.