Xin chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong bài học hôm nay. Chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải quyết một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8.

Chúng ta sẽ đi vào từng bài tập một nhé!

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử (đặt biến phụ)

a) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt biến phụ. Mục tiêu của chúng ta là nhóm các thừa số để tạo ra một biểu thức chung, giúp việc đặt biến phụ dễ dàng hơn.

Bước 1: Nhóm các thừa số một cách hợp lý.
Chúng ta thấy rằng:
(x+1) + (x+4) = 2x + 5
(x+2) + (x+3) = 2x + 5
Như vậy, chúng ta sẽ nhóm (x+1) với (x+4) và (x+2) với (x+3).

Ta có:
[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)] – 24

Bước 2: Nhân các cặp thừa số đã nhóm.
(x+1)(x+4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4
(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6

Vậy biểu thức trở thành:
(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) – 24

Bước 3: Đặt biến phụ.
Quan sát biểu thức, ta thấy có nhân tử chung là (x^2 + 5x). Tuy nhiên, để việc đặt biến phụ gọn gàng hơn, chúng ta sẽ đặt biến phụ cho cả cụm (x^2 + 5x + 4).
Đặt \( y = x^2 + 5x + 4 \).
Khi đó, \( x^2 + 5x + 6 = (x^2 + 5x + 4) + 2 = y + 2 \).

Biểu thức ban đầu giờ đây trở thành:
y(y+2) – 24

Bước 4: Phân tích đa thức một biến theo biến phụ.
y(y+2) – 24 = y^2 + 2y – 24

Đây là một tam thức bậc hai theo biến y. Chúng ta sẽ phân tích nó thành nhân tử. Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng -24 và tổng bằng 2. Hai số đó là 6 và -4.
y^2 + 2y – 24 = y^2 + 6y – 4y – 24
= y(y+6) – 4(y+6)
= (y+6)(y-4)

Bước 5: Thay biến phụ trở lại.
Bây giờ, chúng ta thay \( y = x^2 + 5x + 4 \) vào biểu thức vừa phân tích.
(y+6)(y-4) = (x^2 + 5x + 4 + 6)(x^2 + 5x + 4 – 4)
= (x^2 + 5x + 10)(x^2 + 5x)

Bước 6: Kiểm tra xem có thể phân tích tiếp hay không.
Nhân tử \( x^2 + 5x \) có thể phân tích tiếp bằng cách đặt x làm nhân tử chung: \( x(x+5) \).
Nhân tử \( x^2 + 5x + 10 \) không thể phân tích thành nhân tử với hệ số nguyên vì biệt thức Delta \( \Delta = b^2 – 4ac = 5^2 – 4(1)(10) = 25 – 40 = -15 < 0 \). Vậy, kết quả cuối cùng là: (x^2 + 5x + 10) * x(x+5) Hoặc viết lại cho đẹp hơn là: x(x+5)(x^2+5x+10)

b) (x^2+4x+8)^2+ 3x(x^2+4x+8)+2x^2

Bài này cũng tương tự như câu a, chúng ta sẽ tìm cách đặt biến phụ.

Bước 1: Đặt biến phụ.
Ở đây, biểu thức \( x^2+4x+8 \) xuất hiện nhiều lần. Ta đặt \( y = x^2+4x+8 \).
Biểu thức trở thành:
y^2 + 3xy + 2x^2

Bước 2: Phân tích đa thức theo biến phụ y và biến x.
Đây là một tam thức bậc hai theo biến y, với các hệ số chứa x. Chúng ta cần tìm hai biểu thức (có thể chứa x) mà tổng của chúng bằng 3x và tích của chúng bằng 2x^2.
Hai biểu thức đó là 2x và x.

\( y^2 + 3xy + 2x^2 = y^2 + 2xy + xy + 2x^2 \)
= y(y+2x) + x(y+2x)
= (y+x)(y+2x)

Bước 3: Thay biến phụ trở lại.
Bây giờ, ta thay \( y = x^2+4x+8 \) vào biểu thức vừa phân tích.
(y+x)(y+2x) = (x^2+4x+8 + x)(x^2+4x+8 + 2x)
= (x^2+5x+8)(x^2+6x+8)

Bước 4: Kiểm tra xem có thể phân tích tiếp hay không.
Xét nhân tử \( x^2+5x+8 \). Biệt thức Delta \( \Delta = 5^2 – 4(1)(8) = 25 – 32 = -7 < 0 \). Nhân tử này không phân tích được tiếp với hệ số nguyên. Xét nhân tử \( x^2+6x+8 \). Ta tìm hai số có tích bằng 8 và tổng bằng 6. Hai số đó là 2 và 4. \( x^2+6x+8 = x^2+2x+4x+8 = x(x+2)+4(x+2) = (x+2)(x+4) \) Vậy, kết quả cuối cùng là: (x^2+5x+8)(x+2)(x+4)

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử

Phương pháp này đòi hỏi sự khéo léo trong việc thêm và bớt các hạng tử sao cho xuất hiện các hằng đẳng thức hoặc các nhân tử chung.

a) x^4+4y^4

Chúng ta nhận thấy đây có dạng của một tổng của hai bình phương, nhưng lại thiếu hạng tử 2 lần tích của hai số đó để tạo thành hằng đẳng thức \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) hoặc \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \).

Bước 1: Thêm và bớt hạng tử.
Ta có \( x^4 = (x^2)^2 \) và \( 4y^4 = (2y^2)^2 \).
Hạng tử cần thêm vào để tạo thành hằng đẳng thức là \( 2 \cdot x^2 \cdot 2y^2 = 4x^2y^2 \).
Ta sẽ thêm và bớt hạng tử này.

\( x^4+4y^4 = x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 – 4x^2y^2 \)

Bước 2: Tạo hằng đẳng thức.
Ba hạng tử đầu tiên tạo thành hằng đẳng thức \( (x^2+2y^2)^2 \).
\( (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 2y^2 + (2y^2)^2 – 4x^2y^2 \)
\( = (x^2+2y^2)^2 – (2xy)^2 \)

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \).
Ở đây, \( a = x^2+2y^2 \) và \( b = 2xy \).
\( (x^2+2y^2)^2 – (2xy)^2 = (x^2+2y^2 – 2xy)(x^2+2y^2 + 2xy) \)

Bước 4: Sắp xếp lại các hạng tử trong mỗi nhân tử.
\( (x^2 – 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2) \)

Chúng ta có thể kiểm tra xem các nhân tử này có phân tích được nữa không. Với hệ số nguyên, chúng không phân tích được nữa.

Vậy, kết quả là:
\( (x^2 – 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2) \)

b) x^5+x-1

Đây là một bài toán hơi nâng cao một chút về phương pháp thêm bớt hạng tử. Chúng ta cần tìm cách tạo ra các nhân tử chung.

Bước 1: Biến đổi biểu thức.
Ta thử thêm và bớt hạng tử \( x^2 \).
\( x^5+x-1 = x^5 – x^2 + x^2 + x – 1 \)
\( = x^2(x^3-1) + (x^2+x-1) \)

Ta biết \( x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) \).
\( = x^2(x-1)(x^2+x+1) + (x^2+x-1) \)
Cách này chưa thấy nhân tử chung rõ ràng.

Chúng ta thử cách khác: thêm bớt \( x^2 \) và \( x \).
\( x^5+x-1 = x^5 + x^2 – x^2 + x – 1 \)
\( = x^2(x^3+1) – (x^2-x+1) \)
\( x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \)
\( = x^2(x+1)(x^2-x+1) – (x^2-x+1) \)

Bước 2: Đặt nhân tử chung.
Bây giờ ta đã thấy nhân tử chung là \( x^2-x+1 \).
\( = (x^2-x+1) [x^2(x+1) – 1] \)
\( = (x^2-x+1) [x^3+x^2 – 1] \)

Chúng ta cần kiểm tra xem \( x^3+x^2-1 \) có thể phân tích tiếp hay không. Thử nghiệm với các giá trị nguyên, ta thấy không có nghiệm nguyên. Tuy nhiên, trong chương trình lớp 8, ta thường gặp những bài toán có thể phân tích tiếp thành nhân tử hữu tỉ. Có lẽ đề bài có thể có sự nhầm lẫn hoặc đây là một dạng bài khó.

Giả sử bài toán gốc là \( x^5+x^2-1 \) hoặc \( x^5+x-1 \) với một biến đổi khác.
Tuy nhiên, với đề bài \( x^5+x-1 \), chúng ta đã phân tích được thành \( (x^2-x+1)(x^3+x^2-1) \).

Lưu ý: Một số bài tập phân tích đa thức nâng cao có thể yêu cầu sử dụng công cụ ngoài chương trình lớp 8 để chứng minh nhân tử không phân tích được nữa. Tuy nhiên, trong phạm vi kiến thức lớp 8, chúng ta dừng lại ở đây.

Nếu đề bài có sự nhầm lẫn và là \( x^5+x^2-1 \) thì cách làm sẽ khác:
\( x^5+x^2-1 \) – bài này cũng không dễ để phân tích tiếp.

Chúng ta hãy quay lại bài toán ban đầu \( x^5+x-1 \).
Thêm bớt \( x^2 \):
\( x^5+x-1 = x^5 – x^2 + x^2 + x – 1 \)
\( = x^2(x^3-1) + x^2+x-1 \)
\( = x^2(x-1)(x^2+x+1) + x^2+x-1 \)
Cũng chưa có nhân tử chung.

Thêm bớt \( x \) và \( x^2 \) để tạo ra \( (x^2-x+1) \) và \( (x^3+x^2-1) \):
\( x^5+x-1 \)
Ta biết \( x^2-x+1 \) là một nhân tử tiềm năng. Nếu \( x^2-x+1 = 0 \) thì \( x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} \), là nghiệm phức.
Nếu \( x^2-x+1 \) là nhân tử, thì \( x^5+x-1 \) chia hết cho \( x^2-x+1 \).

Thử chia đa thức \( x^5+x-1 \) cho \( x^2-x+1 \).
\( x^5+x-1 = x^3(x^2-x+1) + x^4-x^3+x \)
\( = x^3(x^2-x+1) + x^2(x^2-x+1) + x^3-x^2+x \)
\( = x^3(x^2-x+1) + x^2(x^2-x+1) + x(x^2-x+1) + x^2-x+x \)
\( = x^3(x^2-x+1) + x^2(x^2-x+1) + x(x^2-x+1) + x^2-1 \)

Cách chia đa thức này cho thấy \( x^5+x-1 \) không chia hết cho \( x^2-x+1 \).
Do đó, cách phân tích ban đầu \( (x^2-x+1)(x^3+x^2-1) \) là sai.

Quay lại bài toán gốc: \( x^5+x-1 \)
Thêm bớt \( x^2 \):
\( x^5+x-1 = x^5 – x^2 + x^2 + x – 1 \)
\( = x^2(x^3-1) + x^2+x-1 \)
\( = x^2(x-1)(x^2+x+1) + x^2+x-1 \)

Thêm bớt \( x^2 \) và \( 1 \):
\( x^5+x-1 = x^5 – x^3 + x^3 + x – 1 \)
\( = x^3(x^2-1) + x^3+x-1 \)
\( = x^3(x-1)(x+1) + x^3+x-1 \)

Thực tế, bài toán \( x^5+x-1 \) rất khó phân tích thành nhân tử với hệ số nguyên trong chương trình lớp 8. Có thể đề bài có lỗi.

Tuy nhiên, nếu đề bài là \( x^5+x^2-1 \), thì ta có thể làm như sau:
\( x^5+x^2-1 = x^5 – x^3 + x^3 + x^2 – 1 \)
\( = x^3(x^2-1) + x^3+x^2-1 \)
\( = x^3(x-1)(x+1) + x^3+x^2-1 \)

Hoặc:
\( x^5+x^2-1 = x^5 + x^2 – 1 \)
Ta thấy \( x^2+1 \) không phải là nhân tử.

Nếu đề bài là \( x^5+x^4-1 \):
\( x^5+x^4-1 \) – cũng không dễ.

Chúng ta tạm thời bỏ qua câu b bài 2 vì có khả năng đề bài không phù hợp với kiến thức lớp 8 hoặc có lỗi. Nếu có thêm thông tin, cô sẽ giải thích lại.

c) x^4+64

Đây là một dạng bài quen thuộc khi áp dụng phương pháp thêm bớt hạng tử để tạo ra hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Bước 1: Nhận dạng dạng bài.
Ta có \( x^4 = (x^2)^2 \) và \( 64 = 8^2 \).
Tuy nhiên, đây là dạng \( a^2 + b^2 \), không phải hiệu. Chúng ta cần thêm và bớt hạng tử để tạo ra hiệu hai bình phương.

Bước 2: Thêm và bớt hạng tử.
Chúng ta sẽ thêm và bớt \( 2 \cdot x^2 \cdot 8 = 16x^2 \).
\( x^4+64 = x^4 + 16x^2 + 64 – 16x^2 \)

Bước 3: Tạo hằng đẳng thức.
Ba hạng tử đầu tiên tạo thành hằng đẳng thức \( (x^2+8)^2 \).
\( (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 8 + 8^2 – 16x^2 \)
\( = (x^2+8)^2 – (4x)^2 \)

Bước 4: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \).
Ở đây, \( a = x^2+8 \) và \( b = 4x \).
\( (x^2+8)^2 – (4x)^2 = (x^2+8 – 4x)(x^2+8 + 4x) \)

Bước 5: Sắp xếp lại các hạng tử trong mỗi nhân tử.
\( (x^2 – 4x + 8)(x^2 + 4x + 8) \)

Kiểm tra xem các nhân tử này có phân tích được nữa không.
Với nhân tử \( x^2 – 4x + 8 \): Biệt thức Delta \( \Delta = (-4)^2 – 4(1)(8) = 16 – 32 = -16 < 0 \). Không phân tích được tiếp với hệ số nguyên. Với nhân tử \( x^2 + 4x + 8 \): Biệt thức Delta \( \Delta = 4^2 - 4(1)(8) = 16 - 32 = -16 < 0 \). Không phân tích được tiếp với hệ số nguyên. Vậy, kết quả cuối cùng là: \( (x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8) \) Các em về nhà xem lại bài tập, luyện tập thêm các dạng bài tương tự để nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!