Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy/cô trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một số bài tập liên quan đến các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta vừa học nhé. Đây là những kiến thức rất quan trọng, giúp các em tính toán nhanh hơn và giải quyết nhiều dạng bài tập phức tạp hơn sau này đấy!

***

Bài 1: Tính

a. \( ( x+\frac{1}{6}y+3)^2 \)

b. \( ( 2x + 3 ) ^ 2 \cdot (x +1)^2 \)

Lời giải:

Các em nhớ lại hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \) và tích các lũy thừa cùng số mũ: \( A^n \cdot B^n = (A \cdot B)^n \) nhé!

a. Với biểu thức \( ( x+\frac{1}{6}y+3)^2 \), đây là bình phương của một tổng ba số hạng. Để dễ dàng áp dụng hằng đẳng thức, chúng ta có thể nhóm hai số hạng đầu lại:

Ta xem \( A = x + \frac{1}{6}y \) và \( B = 3 \). Khi đó, biểu thức trở thành \( ( A + B )^2 \).

\[ ( x+\frac{1}{6}y+3)^2 = \left( (x + \frac{1}{6}y) + 3 \right)^2 \]

Áp dụng hằng đẳng thức \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \), ta có:

\[ = (x + \frac{1}{6}y)^2 + 2 \cdot (x + \frac{1}{6}y) \cdot 3 + 3^2 \]

Bây giờ, chúng ta cần khai triển từng phần. Với \( (x + \frac{1}{6}y)^2 \), ta lại tiếp tục áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng:

\[ (x + \frac{1}{6}y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{6}y + (\frac{1}{6}y)^2 = x^2 + \frac{1}{3}xy + \frac{1}{36}y^2 \]

Tiếp theo, ta khai triển phần tử ở giữa:

\[ 2 \cdot (x + \frac{1}{6}y) \cdot 3 = 6 \cdot (x + \frac{1}{6}y) = 6x + 6 \cdot \frac{1}{6}y = 6x + y \]

Cuối cùng là \( 3^2 = 9 \).

Ghép tất cả các phần lại, ta được:

\[ ( x+\frac{1}{6}y+3)^2 = x^2 + \frac{1}{3}xy + \frac{1}{36}y^2 + 6x + y + 9 \]

b. Với biểu thức \( ( 2x + 3 ) ^ 2 \cdot (x +1)^2 \), ta thấy cả hai thừa số đều có số mũ là 2. Chúng ta có thể áp dụng quy tắc \( A^n \cdot B^n = (A \cdot B)^n \).

\[ ( 2x + 3 ) ^ 2 \cdot (x +1)^2 = \left( (2x+3) \cdot (x+1) \right)^2 \]

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân hai đa thức trong dấu ngoặc tròn trước:

\[ (2x+3)(x+1) = 2x \cdot x + 2x \cdot 1 + 3 \cdot x + 3 \cdot 1 \]

\[ = 2x^2 + 2x + 3x + 3 \]

\[ = 2x^2 + 5x + 3 \]

Vậy, biểu thức ban đầu trở thành:

\[ = (2x^2 + 5x + 3)^2 \]

Đây lại là bình phương của một tổng ba số hạng. Chúng ta tiếp tục áp dụng hằng đẳng thức \(\( (A+B+C)^2 = A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC \)\) hoặc nhóm lại như câu a. Thầy/cô sẽ nhóm lại để các em dễ theo dõi:

Ta xem \( A = 2x^2 + 5x \) và \( B = 3 \). Khi đó, biểu thức trở thành \( ( A + B )^2 \).

\[ = \left( (2x^2 + 5x) + 3 \right)^2 \]

Áp dụng hằng đẳng thức \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \), ta có:

\[ = (2x^2 + 5x)^2 + 2 \cdot (2x^2 + 5x) \cdot 3 + 3^2 \]

Tiếp tục khai triển từng phần:

\[ (2x^2 + 5x)^2 = (2x^2)^2 + 2 \cdot (2x^2) \cdot (5x) + (5x)^2 = 4x^4 + 20x^3 + 25x^2 \]

\[ 2 \cdot (2x^2 + 5x) \cdot 3 = 6 \cdot (2x^2 + 5x) = 12x^2 + 30x \]

\[ 3^2 = 9 \]

Cộng tất cả các kết quả lại:

\[ ( 2x + 3 ) ^ 2 \cdot (x +1)^2 = 4x^4 + 20x^3 + 25x^2 + 12x^2 + 30x + 9 \]

Cuối cùng, các em thu gọn các hạng tử đồng dạng:

\[ = 4x^4 + 20x^3 + (25x^2 + 12x^2) + 30x + 9 \]

\[ = 4x^4 + 20x^3 + 37x^2 + 30x + 9 \]

***

Bài 2: Tìm x, biết

\[ ( 3x +1 ) ^ 2 – 9.( x+2)= -5 \]

Lời giải:

Để tìm \(x\), chúng ta cần biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn. Trước hết, hãy khai triển các biểu thức có trong phương trình.

Bước 1: Khai triển \( (3x+1)^2 \).

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \), với \( A=3x \) và \( B=1 \):

\[ (3x+1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1 \]

Bước 2: Khai triển \( -9(x+2) \).

Chúng ta phân phối số \( -9 \) vào từng số hạng trong dấu ngoặc:

\[ -9(x+2) = -9 \cdot x + (-9) \cdot 2 = -9x – 18 \]

Bước 3: Thay các biểu thức đã khai triển vào phương trình ban đầu.

\[ (9x^2 + 6x + 1) + (-9x – 18) = -5 \]

\[ 9x^2 + 6x + 1 – 9x – 18 = -5 \]

Bước 4: Thu gọn phương trình bằng cách nhóm các hạng tử đồng dạng.

\[ 9x^2 + (6x – 9x) + (1 – 18) = -5 \]

\[ 9x^2 – 3x – 17 = -5 \]

Bước 5: Chuyển tất cả các số hạng sang một vế để đưa phương trình về dạng tổng quát.

\[ 9x^2 – 3x – 17 + 5 = 0 \]

\[ 9x^2 – 3x – 12 = 0 \]

Bước 6: Chia cả hai vế cho 3 để đơn giản phương trình (nếu có thể).

\[ \frac{9x^2 – 3x – 12}{3} = \frac{0}{3} \]

\[ 3x^2 – x – 4 = 0 \]

Bước 7: Giải phương trình bậc hai \( 3x^2 – x – 4 = 0 \). Đối với lớp 8, chúng ta thường dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Chúng ta tìm hai số có tích bằng \( 3 \cdot (-4) = -12 \) và tổng bằng \( -1 \). Hai số đó là \( 3 \) và \( -4 \).

Ta tách hạng tử \( -x \) thành \( 3x – 4x \):

\[ 3x^2 + 3x – 4x – 4 = 0 \]

Nhóm các hạng tử:

\[ (3x^2 + 3x) – (4x + 4) = 0 \]

Đặt nhân tử chung:

\[ 3x(x + 1) – 4(x + 1) = 0 \]

Đặt nhân tử chung \( (x+1) \):

\[ (x + 1)(3x – 4) = 0 \]

Bước 8: Giải tìm \(x\).

Để tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0.

Trường hợp 1: \( x + 1 = 0 \)

\[ x = -1 \]

Trường hợp 2: \( 3x – 4 = 0 \)

\[ 3x = 4 \]

\[ x = \frac{4}{3} \]

Vậy, phương trình có hai nghiệm là \( x = -1 \) và \( x = \frac{4}{3} \).

***

Bài 3: Trong trường hợp nào thì ta có:

\[ ( a+ b ) ^ 2 = a^2 + b^2 \]

Lời giải:

Đây là một câu hỏi rất thú vị, giúp các em hiểu rõ hơn về các hằng đẳng thức nhé.

Chúng ta biết rằng, theo hằng đẳng thức bình phương của một tổng:

\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Đề bài yêu cầu chúng ta tìm điều kiện để đẳng thức sau xảy ra:

\[ ( a+ b ) ^ 2 = a^2 + b^2 \]

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức khai triển của \( (a+b)^2 \) vào phương trình trên:

\[ a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 \]

Để tìm điều kiện, chúng ta sẽ đơn giản phương trình này bằng cách chuyển các số hạng sang một vế hoặc triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế.

Ta có thể trừ \( a^2 \) ở cả hai vế:

\[ a^2 + 2ab + b^2 – a^2 = a^2 + b^2 – a^2 \]

\[ 2ab + b^2 = b^2 \]

Tiếp tục, trừ \( b^2 \) ở cả hai vế:

\[ 2ab + b^2 – b^2 = b^2 – b^2 \]

\[ 2ab = 0 \]

Vậy, điều kiện để đẳng thức \( ( a+ b ) ^ 2 = a^2 + b^2 \) xảy ra là \( 2ab = 0 \).

Khi nào thì \( 2ab = 0 \)?

Tích của ba số \( 2 \), \( a \), và \( b \) bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong các thừa số đó bằng 0. Vì \( 2 \) không thể bằng 0, nên điều này có nghĩa là \( a \) phải bằng 0 hoặc \( b \) phải bằng 0 (hoặc cả hai cùng bằng 0).

Kết luận:

Đẳng thức \( ( a+ b ) ^ 2 = a^2 + b^2 \) chỉ xảy ra khi và chỉ khi tích \( ab = 0 \). Điều này có nghĩa là một trong hai số \(a\) hoặc \(b\) (hoặc cả hai) phải bằng 0.

Ví dụ:

• Nếu \( a=0 \), thì \( (0+b)^2 = b^2 \) và \( 0^2+b^2 = b^2 \). Vậy \( b^2 = b^2 \) (luôn đúng).
• Nếu \( b=0 \), thì \( (a+0)^2 = a^2 \) và \( a^2+0^2 = a^2 \). Vậy \( a^2 = a^2 \) (luôn đúng).
• Nếu \( a=0 \) và \( b=0 \), thì \( (0+0)^2 = 0 \) và \( 0^2+0^2 = 0 \). Vậy \( 0 = 0 \) (luôn đúng).

Các em nhớ kỹ điều này để tránh nhầm lẫn nhé!

***

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách áp dụng các hằng đẳng thức và giải các dạng toán liên quan. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!