Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập rất thú vị trong chương “Lũy thừa”. Đó là bài tập so sánh hai lũy thừa. Dạng bài này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt các quy tắc của lũy thừa và tìm cách đưa hai số về cùng cơ số hoặc cùng số mũ để so sánh.

Chúng ta sẽ cùng nhau đi vào chi tiết từng câu nhé.

—

bài 11: so sánh:

a) 2^24 và 3^16

Để so sánh hai lũy thừa này, chúng ta sẽ cố gắng đưa chúng về cùng số mũ.

Ta nhận thấy rằng cả 24 và 16 đều chia hết cho 8.
Chúng ta áp dụng quy tắc: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \).

* Xét số thứ nhất: 2^24
Ta có thể viết 24 = 3 * 8.
Vậy, 2^24 = 2^(3 * 8) = (2^3)^8.
Tính toán trong ngoặc: 2^3 = 2 2 2 = 8.
Do đó, 2^24 = 8^8.

* Xét số thứ hai: 3^16
Ta có thể viết 16 = 2 * 8.
Vậy, 3^16 = 3^(2 * 8) = (3^2)^8.
Tính toán trong ngoặc: 3^2 = 3 * 3 = 9.
Do đó, 3^16 = 9^8.

Bây giờ, chúng ta cần so sánh 8^8 và 9^8.
Vì cơ số 8 < 9 và số mũ 8 là số mũ dương, nên ta có: 8^8 < 9^8. Suy ra, 2^24 < 3^16. Vậy, 2^24 < 3^16.

—

b) 2^300 và 3^200

Tương tự như câu trên, chúng ta sẽ đưa hai lũy thừa này về cùng số mũ.
Ta thấy cả 300 và 200 đều chia hết cho 100.

* Xét số thứ nhất: 2^300
Ta có thể viết 300 = 3 * 100.
Áp dụng quy tắc \( (a^m)^n = a^{m \times n} \):
2^300 = 2^(3 * 100) = (2^3)^100.
Tính toán trong ngoặc: 2^3 = 8.
Do đó, 2^300 = 8^100.

* Xét số thứ hai: 3^200
Ta có thể viết 200 = 2 * 100.
Áp dụng quy tắc \( (a^m)^n = a^{m \times n} \):
3^200 = 3^(2 * 100) = (3^2)^100.
Tính toán trong ngoặc: 3^2 = 9.
Do đó, 3^200 = 9^100.

Bây giờ, chúng ta cần so sánh 8^100 và 9^100.
Vì cơ số 8 < 9 và số mũ 100 là số mũ dương, nên ta có: 8^100 < 9^100. Suy ra, 2^300 < 3^200. Vậy, 2^300 < 3^200.

—

c) 71^5 và 7^20

Ở câu này, chúng ta cũng sẽ đưa hai lũy thừa về cùng số mũ.
Ta nhận thấy số mũ 20 có thể phân tích thành 5 * 4.

* Xét số thứ nhất: 71^5
Số này đã có cơ số là 71 và số mũ là 5.

* Xét số thứ hai: 7^20
Ta có thể viết 20 = 4 * 5.
Áp dụng quy tắc \( (a^m)^n = a^{m \times n} \):
7^20 = 7^(4 * 5) = (7^4)^5.
Tính toán trong ngoặc: 7^4 = 7 7 7 * 7.
7 * 7 = 49.
49 * 7 = 343.
343 * 7 = 2401.
Do đó, 7^20 = 2401^5.

Bây giờ, chúng ta cần so sánh 71^5 và 2401^5.
Chúng ta đã biết 71 < 2401. Vì cả hai đều có số mũ là 5 (là số mũ dương), nên ta có: 71^5 < 2401^5. Suy ra, 71^5 < 7^20. Vậy, 71^5 < 7^20.

—

Qua bài tập này, các em thấy rằng việc đưa hai lũy thừa về cùng số mũ hoặc cùng cơ số là một chiến lược rất hiệu quả để so sánh chúng. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nâng cao kỹ năng của mình nhé!