Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập rất quen thuộc trong chương Lũy thừa, đó là viết các biểu thức dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ. Các em hãy mở Sách giáo khoa Toán lớp 7, trang …, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài tập này yêu cầu chúng ta biến đổi các biểu thức đã cho thành dạng lũy thừa của một cơ số duy nhất. Để làm được điều này, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các quy tắc về lũy thừa mà chúng ta đã học.

Chúng ta cùng đi vào chi tiết từng câu nhé!

Câu a: 10 mũ 8 . 2 mũ 4

Để viết biểu thức này dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ, chúng ta cần cố gắng đưa các thừa số về cùng một cơ số.

Quan sát biểu thức, ta thấy có hai cơ số là 10 và 2. Số 10 có thể phân tích thành tích của 2 và 5, tức là \(10 = 2 \times 5\).

Bây giờ, chúng ta áp dụng quy tắc: Nếu \(a\) và \(b\) là các số hữu tỉ và \(n\) là số nguyên dương, thì \((a \times b)^n = a^n \times b^n\).

Ta có:
\(10^8 = (2 \times 5)^8\)
Áp dụng quy tắc trên, ta được:
\(10^8 = 2^8 \times 5^8\)

Bây giờ, biểu thức ban đầu trở thành:
\(10^8 \times 2^4 = (2^8 \times 5^8) \times 2^4\)

Để nhóm các lũy thừa có cùng cơ số, chúng ta sử dụng quy tắc: Nếu \(a\) là số hữu tỉ và \(m, n\) là các số nguyên dương, thì \(a^m \times a^n = a^{m+n}\).

Ta có \(2^8 \times 2^4\). Áp dụng quy tắc trên, ta được:
\(2^8 \times 2^4 = 2^{8+4} = 2^{12}\)

Vậy, biểu thức \(10^8 \times 2^4\) trở thành:
\(2^{12} \times 5^8\)

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu viết dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ. Trong trường hợp này, chúng ta chưa thể đưa về lũy thừa của một số hữu tỉ duy nhất mà không còn là một tích các lũy thừa.

Chúng ta xem xét lại yêu cầu. Đôi khi, đề bài có thể hiểu là viết dưới dạng tích các lũy thừa với cơ số tối giản nhất hoặc đưa về lũy thừa của cùng một số nếu có thể.

Trong trường hợp này, nếu yêu cầu là đưa về dạng tích các lũy thừa với cơ số nguyên tố, thì \(2^{12} \times 5^8\) là kết quả cuối cùng.

Nhưng nếu ý của đề bài là cố gắng đưa về một cơ số duy nhất thì sao? Chúng ta có thể thử cách khác.

Ta có \(10^8 = 10^4 \times 10^4\).
Hoặc \(10^8 = (10^2)^4 = 100^4\).
Khi đó, \(100^4 \times 2^4\).
Áp dụng quy tắc: Nếu \(a\) và \(b\) là các số hữu tỉ và \(n\) là số nguyên dương, thì \(a^n \times b^n = (a \times b)^n\).
Ta có: \(100^4 \times 2^4 = (100 \times 2)^4 = 200^4\).

Đây là một cách viết dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ.

Kiểm tra lại:
\(10^8 \times 2^4\)
Ta có \(10^8 = (2 \times 5)^8 = 2^8 \times 5^8\).
Vậy \(10^8 \times 2^4 = 2^8 \times 5^8 \times 2^4 = 2^{12} \times 5^8\).

Nếu chúng ta phân tích \(10\) thành \(2 \times 5\), ta có:
\(10^8 \times 2^4 = (2 \times 5)^8 \times 2^4 = 2^8 \times 5^8 \times 2^4 = 2^{8+4} \times 5^8 = 2^{12} \times 5^8\).
Đây là dạng tích các lũy thừa.

Nếu chúng ta muốn đưa về một cơ số duy nhất, ta có thể nhận thấy:
\(10^8 \times 2^4 = (10^2)^4 \times 2^4 = 100^4 \times 2^4 = (100 \times 2)^4 = 200^4\).

Như vậy, \(200^4\) là biểu thức viết dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ.

Đáp án câu a: \(200^4\)

Câu b: 81 mũ 5 . 32 mũ 4

Tương tự như câu a, chúng ta cần phân tích các cơ số 81 và 32 thành lũy thừa của các số nguyên tố để dễ dàng biến đổi.

Ta có \(81\). Ta biết \(81 = 9 \times 9 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4\).
Vậy \(81^5 = (3^4)^5\).

Áp dụng quy tắc: Nếu \(a\) là số hữu tỉ và \(m, n\) là các số nguyên dương, thì \((a^m)^n = a^{m \times n}\).
Ta có: \(81^5 = (3^4)^5 = 3^{4 \times 5} = 3^{20}\).

Bây giờ, ta xét cơ số 32. Ta biết \(32 = 2 \times 16 = 2 \times 2 \times 8 = 2 \times 2 \times 2 \times 4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5\).
Vậy \(32^4 = (2^5)^4\).

Áp dụng quy tắc \((a^m)^n = a^{m \times n}\) một lần nữa:
\(32^4 = (2^5)^4 = 2^{5 \times 4} = 2^{20}\).

Bây giờ, biểu thức ban đầu trở thành:
\(81^5 \times 32^4 = 3^{20} \times 2^{20}\).

Quan sát kết quả, ta thấy hai lũy thừa có cùng số mũ là 20. Chúng ta có thể áp dụng quy tắc: Nếu \(a\) và \(b\) là các số hữu tỉ và \(n\) là số nguyên dương, thì \(a^n \times b^n = (a \times b)^n\).

Ta có: \(3^{20} \times 2^{20} = (3 \times 2)^{20}\).
Thực hiện phép nhân trong ngoặc: \(3 \times 2 = 6\).

Vậy, biểu thức \(81^5 \times 32^4\) được viết dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ là \(6^{20}\).

Đáp án câu b: \(6^{20}\)

Các em thấy đó, chìa khóa để giải quyết dạng bài tập này là nắm vững các quy tắc về lũy thừa, đặc biệt là quy tắc về lũy thừa của một tích, lũy thừa của lũy thừa và tích hai lũy thừa cùng số mũ.

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự trong Sách giáo khoa và Sách bài tập để củng cố kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô!

Chúc các em học tốt!