Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán số 21, một dạng toán rất điển hình về công việc chung và công việc riêng trong chương trình Toán 9 của chúng ta. Đây là dạng toán quan trọng, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi nhé.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”.

Bước 1: Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn

Bài toán hỏi thời gian mỗi người làm một mình xong công việc. Vì vậy, chúng ta sẽ đặt ẩn là thời gian này.

– Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ).

– Gọi thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là \(y\) (giờ).

Các em lưu ý điều kiện của ẩn nhé. Vì thời gian phải là một số dương và thời gian làm riêng của mỗi người chắc chắn phải lớn hơn thời gian làm chung (4 giờ), nên ta có điều kiện: \(x > 4\) và \(y > 4\).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết

Đây là bước quan trọng nhất. Chúng ta sẽ quy ước toàn bộ công việc là 1 đơn vị. Từ đó, ta sẽ tính “năng suất” của mỗi người, tức là lượng công việc họ làm được trong 1 giờ.

– Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được: \(\frac{1}{x}\) (công việc).

– Trong 1 giờ, người thứ hai làm được: \(\frac{1}{y}\) (công việc).

– Trong 1 giờ, cả hai người cùng làm được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc).

Bước 3: Lập hệ phương trình từ các dữ kiện của bài toán

Bây giờ, chúng ta sẽ đọc kỹ lại đề bài và chuyển các câu văn thành phương trình toán học.

– Dữ kiện thứ nhất: “Hai người cùng làm chung một công việc thi xong trong 4 giờ”.

Điều này có nghĩa là, năng suất chung của hai người là \(\frac{1}{4}\) công việc mỗi giờ.

Từ đó, ta có phương trình đầu tiên:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \quad (1)\]

– Dữ kiện thứ hai: “Hai người cũng làm được 2 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 6 giờ nữa thì xong công việc”.

Chúng ta sẽ tính tổng lượng công việc đã làm để hoàn thành:

+ Lượng công việc hai người làm chung trong 2 giờ là: \(2 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})\).

+ Lượng công việc người thứ hai làm một mình trong 6 giờ tiếp theo là: \(6 \times \frac{1}{y}\).

Tổng hai lượng công việc này bằng hoàn thành cả công việc (tức là 1 đơn vị).

Ta có phương trình thứ hai:
\[2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + \frac{6}{y} = 1 \quad (2)\]

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \quad (1) \\
2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + \frac{6}{y} = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Bước 4: Giải hệ phương trình

Các em thấy hệ phương trình này có vẻ phức tạp, nhưng hãy quan sát kỹ nhé. Chúng ta có thể giải nó một cách rất nhanh gọn bằng phương pháp thế.

Ta thấy vế trái của phương trình (1) là \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) và giá trị của nó là \(\frac{1}{4}\). Ta sẽ thế giá trị này vào phương trình (2).

Thế \(\frac{1}{4}\) vào vị trí của \((\frac{1}{x} + \frac{1}{y})\) trong phương trình (2), ta được:

\(2 \times \frac{1}{4} + \frac{6}{y} = 1\)

\(\frac{1}{2} + \frac{6}{y} = 1\)

\(\frac{6}{y} = 1 – \frac{1}{2}\)

\(\frac{6}{y} = \frac{1}{2}\)

Suy ra: \(y = 6 \times 2 = 12\).

Sau khi tìm được \(y = 12\), chúng ta thế giá trị này trở lại phương trình (1) để tìm \(x\):

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{4} – \frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{3}{12} – \frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{2}{12}\)

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{6}\)

Suy ra: \(x = 6\).

Bước 5: Đối chiếu điều kiện và trả lời

Chúng ta đã tìm được \(x = 6\) và \(y = 12\).

Bây giờ, hãy kiểm tra với điều kiện ban đầu: \(x > 4\) và \(y > 4\).

Ta thấy \(6 > 4\) và \(12 > 4\). Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy, chúng ta có thể kết luận:

Nếu làm một mình, người thứ nhất làm xong công việc trong 6 giờ.

Nếu làm một mình, người thứ hai làm xong công việc trong 12 giờ.

Như vậy là chúng ta đã giải quyết xong bài toán. Các em thấy không, chỉ cần phân tích kỹ đề bài và thực hiện tuần tự các bước, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách dễ dàng.

Chúc các em học tốt nhé!