Chúng ta bắt đầu với Bài 3: Tính nhanh.

Phần này đòi hỏi chúng ta phải tìm ra quy luật hoặc cách nhóm các số sao cho việc tính toán trở nên dễ dàng hơn.

a) A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 100.101

Các em nhìn vào từng số hạng trong tổng A, chúng ta thấy có dạng n.(n+1). Cô sẽ mách cho các em một mẹo nhỏ để giải dạng toán này. Chúng ta sẽ nhân mỗi số hạng với 3, sau đó chia cả tổng cho 3. Tại sao lại là 3? Các em cùng xem nhé:

Xét số hạng dạng n(n+1). Ta có thể viết nó như sau:
n(n+1) = (n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1)) / 3

Bây giờ, chúng ta áp dụng vào tổng A. Nhân A với 3:
3A = 3 * (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 100.101)
3A = 3.1.2 + 3.2.3 + 3.3.4 + … + 3.100.101

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi từng số hạng của 3A để tạo ra hiệu:
3.1.2 = 1.2.3 – 0.1.2
3.2.3 = 2.3.4 – 1.2.3
3.3.4 = 3.4.5 – 2.3.4
…
3.100.101 = 100.101.102 – 99.100.101

Khi cộng tất cả các số hạng này lại, các em thấy có hiện tượng “triệt tiêu nhau” ở giữa:
3A = (1.2.3 – 0.1.2) + (2.3.4 – 1.2.3) + (3.4.5 – 2.3.4) + … + (100.101.102 – 99.100.101)
3A = 100.101.102 – 0.1.2
3A = 100.101.102

Bây giờ, để tìm A, chúng ta chia cả hai vế cho 3:
A = (100.101.102) / 3

Ta có thể chia 102 cho 3: 102 / 3 = 34.
A = 100 101 34

Tính toán:
100 * 101 = 10100
10100 * 34 = 343400

Vậy, A = 343400.

b) B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + 100.101.102

Đây là dạng tổng của các tích ba số tự nhiên liên tiếp. Tương tự như phần a, chúng ta sẽ nhân cả tổng B với 4 rồi chia cho 4.
Xét số hạng dạng n(n+1)(n+2). Ta có thể viết nó như sau:
n(n+1)(n+2) = (n(n+1)(n+2)(n+3) – (n-1)n(n+1)(n+2)) / 4

Bây giờ, chúng ta áp dụng vào tổng B. Nhân B với 4:
4B = 4 * (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + 100.101.102)
4B = 4.1.2.3 + 4.2.3.4 + 4.3.4.5 + … + 4.100.101.102

Biến đổi từng số hạng của 4B để tạo ra hiệu:
4.1.2.3 = 1.2.3.4 – 0.1.2.3
4.2.3.4 = 2.3.4.5 – 1.2.3.4
4.3.4.5 = 3.4.5.6 – 2.3.4.5
…
4.100.101.102 = 100.101.102.103 – 99.100.101.102

Khi cộng tất cả các số hạng này lại, chúng ta cũng có hiện tượng “triệt tiêu nhau” ở giữa:
4B = (1.2.3.4 – 0.1.2.3) + (2.3.4.5 – 1.2.3.4) + (3.4.5.6 – 2.3.4.5) + … + (100.101.102.103 – 99.100.101.102)
4B = 100.101.102.103 – 0.1.2.3
4B = 100.101.102.103

Để tìm B, chúng ta chia cả hai vế cho 4:
B = (100.101.102.103) / 4

Ta có thể chia 100 cho 4: 100 / 4 = 25.
B = 25 101 102 * 103

Tính toán:
25 * 101 = 2525
102 * 103 = 10506
2525 * 10506 = 26527650

Vậy, B = 26527650.

Tiếp theo, chúng ta sang Bài 4: Tính giá trị các biểu thức sau bằng cách hợp lý.

“Hợp lý” ở đây có nghĩa là chúng ta nên tìm cách nhóm hoặc sử dụng các tính chất của phép toán để việc tính toán nhanh và ít sai sót nhất.

a) A = 714 + 382 + 286 + 318

Cô giáo thấy ở đây có các cặp số có thể cộng lại tròn trăm hoặc tròn chục.
714 + 286 = 1000
382 + 318 = 700

Vậy, A = (714 + 286) + (382 + 318)
A = 1000 + 700
A = 1700

b) B = 35.34 + 35.86 + 65.75 + 65.45

Trong biểu thức này, chúng ta có thể nhóm các số hạng có chung thừa số.
Nhóm hai số hạng đầu tiên có chung thừa số 35:
35.34 + 35.86 = 35 (34 + 86) = 35 120

Nhóm hai số hạng sau có chung thừa số 65:
65.75 + 65.45 = 65 (75 + 45) = 65 120

Bây giờ, biểu thức B trở thành:
B = 35 120 + 65 120

Chúng ta thấy có thừa số chung là 120.
B = 120 * (35 + 65)
B = 120 * 100
B = 12000

c) C = (257.139 – 257 .39) : 100

Ở đây, chúng ta có thừa số chung là 257 trong ngoặc.
C = (257 * (139 – 39)) : 100
C = (257 * 100) : 100

Thực hiện phép chia trước: 100 : 100 = 1.
C = 257 * 1
C = 257

d) D = 102 – 96 + 90 – 84 +…+ 54 – 48

Chúng ta hãy nhìn vào các cặp số:
102 – 96 = 6
90 – 84 = 6
…
54 – 48 = 6

Đây là một dãy các phép trừ, mỗi cặp trừ nhau đều cho kết quả là 6.
Vậy, chúng ta cần xác định xem có bao nhiêu cặp như vậy.

Ta có thể coi đây là hai dãy số.
Dãy số thứ nhất (số bị trừ): 102, 90, …, 54. Đây là một cấp số cộng có số hạng đầu là 102, công sai là -12 (90 – 102 = -12).
Dãy số thứ hai (số trừ): 96, 84, …, 48. Đây là một cấp số cộng có số hạng đầu là 96, công sai là -12 (84 – 96 = -12).

Hoặc chúng ta có thể nhóm các số hạng theo một cách khác:
D = (102 – 96) + (90 – 84) + … + (54 – 48)

Chúng ta cần tìm số các số hạng trong dãy ban đầu. Dãy số ban đầu là 102, 96, 90, 84, …, 54, 48.
Đây là một dãy số giảm dần với công sai là -6 (96 – 102 = -6).
Số các số hạng là: (Số cuối – Số đầu) / Công sai + 1
Số các số hạng = (48 – 102) / (-6) + 1 = (-54) / (-6) + 1 = 9 + 1 = 10 số hạng.

Tuy nhiên, chúng ta đang nhóm thành từng cặp, mỗi cặp có 2 số hạng.
Vậy số cặp là: 10 số hạng / 2 số hạng/cặp = 5 cặp.

Mỗi cặp có giá trị bằng 6.
D = 6 + 6 + 6 + 6 + 6
D = 5 * 6
D = 30

e) E = 3 + 5 + 7 + … + 2021

Đây là một tổng của các số lẻ cách đều nhau. Đây là một cấp số cộng.
Số hạng đầu là 3.
Số hạng cuối là 2021.
Công sai là 2 (vì là các số lẻ liên tiếp).

Trước hết, chúng ta cần tìm xem có bao nhiêu số hạng trong dãy này.
Công thức tìm số hạng thứ n của cấp số cộng: \(u_n = u_1 + (n-1)d\)
Ở đây, \(u_n = 2021\), \(u_1 = 3\), \(d = 2\).
\(2021 = 3 + (n-1) * 2\)
\(2021 – 3 = (n-1) * 2\)
\(2018 = (n-1) * 2\)
\(2018 / 2 = n-1\)
\(1009 = n-1\)
\(n = 1009 + 1\)
\(n = 1010\)

Vậy có 1010 số hạng.

Bây giờ, chúng ta tính tổng của cấp số cộng bằng công thức:
\(S_n = (u_1 + u_n) * n / 2\)
\(E = (3 + 2021) * 1010 / 2\)
\(E = 2024 * 1010 / 2\)
\(E = 2024 * 505\)

Thực hiện phép nhân:
2024 * 505 = 1022120

Vậy, E = 1022120.

Cuối cùng, chúng ta đến với Bài 5: Tính nhanh.

Phần này tương tự như Bài 3, nhưng có một phần là dạng tổng quát.

a) A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 2020.2021

Đây là dạng tổng đã quen thuộc từ Bài 3a. Chúng ta áp dụng công thức tương tự.
Nhân A với 3:
3A = 3 * (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 2020.2021)
3A = 3.1.2 + 3.2.3 + 3.3.4 + … + 3.2020.2021

Áp dụng quy tắc biến đổi thành hiệu như đã làm ở Bài 3a:
3.n.(n+1) = n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1)

Ta sẽ có:
3A = (1.2.3 – 0.1.2) + (2.3.4 – 1.2.3) + (3.4.5 – 2.3.4) + … + (2020.2021.2022 – 2019.2020.2021)
3A = 2020.2021.2022 – 0.1.2
3A = 2020.2021.2022

Chia cả hai vế cho 3:
A = (2020.2021.2022) / 3

Ta có thể chia 2022 cho 3: 2022 / 3 = 674.
A = 2020 2021 674

Tính toán:
2020 * 2021 = 4082420
4082420 * 674 = 2751643080

Vậy, A = 2751643080.

b) B = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n.(n + 1)

Đây là dạng tổng quát của bài toán trên. Chúng ta áp dụng phương pháp tương tự.
Nhân B với 3:
3B = 3 * (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1))
3B = 3.1.2 + 3.2.3 + 3.3.4 + … + 3.n.(n + 1)

Biến đổi mỗi số hạng:
3.k.(k+1) = k(k+1)(k+2) – (k-1)k(k+1)

Khi cộng lại, ta có:
3B = (1.2.3 – 0.1.2) + (2.3.4 – 1.2.3) + (3.4.5 – 2.3.4) + … + (n.(n+1).(n+2) – (n-1).n.(n+1))
3B = n.(n+1).(n+2) – 0.1.2
3B = n.(n+1).(n+2)

Chia cả hai vế cho 3:
B = (n.(n+1).(n+2)) / 3

Đây là công thức tổng quát cho dạng toán này.

Cô hy vọng với những hướng dẫn chi tiết này, các em đã hiểu bài và tự tin giải quyết các bài tập tương tự. Hãy nhớ luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô.