Chào các em học sinh thân yêu của thầy/cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải một bài toán xác suất rất thú vị liên quan đến việc lấy bi từ hộp. Đây là dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 10 của chúng ta, nằm trong chủ đề về “Tổ hợp và Xác suất”. Chúng ta sẽ bám sát sách giáo khoa để giải quyết bài toán này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé.

Thầy/cô đã chuẩn bị sẵn một chiếc hộp với 20 viên bi, trong đó có 8 viên màu đỏ, 7 viên màu xanh và 5 viên màu vàng. Chúng ta sẽ lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi từ chiếc hộp này. Nhiệm vụ của chúng ta là tính xác suất cho hai trường hợp sau:

a. 3 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi màu xanh.
b. 3 viên bi lấy ra không quá 3 màu.

Chúng ta sẽ đi từng bước một.

Bước 1: Xác định không gian mẫu

Trước hết, chúng ta cần xác định tổng số cách có thể xảy ra khi lấy ra 3 viên bi từ 20 viên bi trong hộp. Vì thứ tự lấy bi không quan trọng, nên chúng ta sẽ sử dụng công thức tổ hợp.

Số phần tử của không gian mẫu, ký hiệu là \(n(\Omega)\), là số cách chọn 3 viên bi từ 20 viên bi.
Ta có:
\(n(\Omega) = C_{20}^3\)

Để tính \(C_{20}^3\), ta dùng công thức:
\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Do đó:
\(C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 19 \times 6 = 1140\)

Vậy, có 1140 cách có thể xảy ra khi lấy ra 3 viên bi từ hộp.

Bước 2: Giải câu a. 3 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi màu xanh

Gọi A là biến cố “3 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi màu xanh”.
Để xảy ra biến cố A, chúng ta cần thực hiện hai công việc đồng thời:
1. Chọn 1 viên bi màu xanh từ 7 viên bi màu xanh.
2. Chọn 2 viên bi còn lại từ số bi không phải màu xanh.

Số cách chọn 1 viên bi màu xanh từ 7 viên bi màu xanh là \(C_7^1\).
\(C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1!6!} = 7\)

Số viên bi không phải màu xanh là tổng số viên bi trừ đi số viên bi màu xanh: 20 – 7 = 13 viên bi (8 đỏ và 5 vàng).
Số cách chọn 2 viên bi từ 13 viên bi không phải màu xanh là \(C_{13}^2\).
\(C_{13}^2 = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13!}{2!11!} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 13 \times 6 = 78\)

Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
\(n(A) = C_7^1 \times C_{13}^2 = 7 \times 78 = 546\)

Xác suất của biến cố A là:
\(P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{546}{1140}\)

Chúng ta có thể rút gọn phân số này:
\(P(A) = \frac{546}{1140} = \frac{273}{570} = \frac{91}{190}\)

Vậy, xác suất để 3 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi màu xanh là \(\frac{91}{190}\).

Bước 3: Giải câu b. 3 viên bi lấy ra không quá 3 màu

Đối với câu này, chúng ta cần hiểu rõ “không quá 3 màu” nghĩa là gì. Trong chiếc hộp của chúng ta có 3 loại màu: đỏ, xanh, vàng. Khi lấy ra 3 viên bi, số lượng màu có thể xuất hiện là 1 màu, 2 màu, hoặc 3 màu. Vì tổng số màu có sẵn là 3, nên bất kỳ tổ hợp 3 viên bi nào lấy ra cũng sẽ có số màu là 1, 2, hoặc 3.

Điều này có nghĩa là biến cố “3 viên bi lấy ra không quá 3 màu” là một biến cố chắc chắn xảy ra. Nó bao gồm tất cả các trường hợp có thể xảy ra khi lấy 3 viên bi, bất kể màu sắc của chúng.

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố này chính là tổng số cách lấy 3 viên bi từ 20 viên bi, tức là \(n(\Omega)\).
Gọi B là biến cố “3 viên bi lấy ra không quá 3 màu”.
\(n(B) = n(\Omega) = 1140\)

Xác suất của biến cố B là:
\(P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{1140}{1140} = 1\)

Vậy, xác suất để 3 viên bi lấy ra không quá 3 màu là 1, hay nói cách khác, đây là một sự kiện chắc chắn xảy ra.

Thầy/cô hy vọng với cách giải chi tiết từng bước như trên, các em đã hiểu rõ bài toán này. Hãy nhớ rằng, việc phân tích kỹ đề bài và xác định đúng không gian mẫu là chìa khóa để giải các bài toán xác suất nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô. Chúc các em học tốt!