Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán biến đổi lượng giác rất hay gặp trong chương trình Toán 11 nhé. Bài toán yêu cầu chúng ta biến đổi phương trình về một dạng chuẩn và từ đó xác định các tham số.

Đề bài yêu cầu: Biến đổi phương trình \( \sqrt{3}\sin x + \cos x = 1 \) về dạng \( \sin(x+a) = \sin b \) với \( a,b \) thuộc khoảng \( (0; \frac{\pi}{2}) \). Tính \( a+b \).

Các lựa chọn:
a. \( \frac{\pi}{3} \)
b. \( \frac{\pi}{4} \)
c. \( \frac{\pi}{6} \)
d. \( \frac{\pi}{2} \)

Nào, chúng ta cùng nhau bắt tay vào giải quyết bài toán này nhé!

Bước 1: Nhận dạng và áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích (hoặc ngược lại)

Phương trình đã cho có dạng \( A\sin x + B\cos x = C \), cụ thể là \( \sqrt{3}\sin x + 1\cos x = 1 \).
Để biến đổi vế trái về dạng \( R\sin(x+\alpha) \), chúng ta sử dụng công thức:
\[ A\sin x + B\cos x = \sqrt{A^2+B^2}\left(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin x + \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos x\right) \]
Đặt \( \cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \) và \( \sin \alpha = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \).
Thì vế trái sẽ trở thành \( \sqrt{A^2+B^2}(\cos \alpha \sin x + \sin \alpha \cos x) = \sqrt{A^2+B^2}\sin(x+\alpha) \).

Trong bài toán này, ta có \( A = \sqrt{3} \) và \( B = 1 \).
Tính \( \sqrt{A^2+B^2} \):
\[ \sqrt{A^2+B^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 \]

Bước 2: Biến đổi vế trái của phương trình

Chia cả hai vế của phương trình \( \sqrt{3}\sin x + \cos x = 1 \) cho \( \sqrt{A^2+B^2} = 2 \), ta được:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2} \]

Bây giờ, chúng ta cần tìm một góc \( \alpha \) sao cho \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \) và \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \).
Chúng ta biết rằng góc \( \frac{\pi}{6} \) (hay \( 30^\circ \)) có \( \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) và \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \).
Vì \( a \) thuộc khoảng \( (0; \frac{\pi}{2}) \) nên \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) là giá trị phù hợp.

Thay vào phương trình, ta có:
\[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin x + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos x = \frac{1}{2} \]

Áp dụng công thức cộng: \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \), ta được:
\[ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \]

Bước 3: Xác định giá trị của \( a \) và \( b \)

Phương trình của chúng ta đã có dạng \( \sin(x+a) = \sin b \).
So sánh với \( \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \), ta thấy:
Giá trị của \( a \) chính là \( \frac{\pi}{6} \).

Bây giờ, chúng ta cần biến đổi vế phải \( \frac{1}{2} \) thành \( \sin b \).
Chúng ta biết rằng \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \).
Vậy, ta có thể viết lại phương trình là:
\[ \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \]

Từ đây, ta xác định được:
\( a = \frac{\pi}{6} \)
\( b = \frac{\pi}{6} \)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện của \( a \) và \( b \)

Đề bài yêu cầu \( a, b \) thuộc khoảng \( (0; \frac{\pi}{2}) \).
Ta có \( a = \frac{\pi}{6} \). Rõ ràng \( 0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} \). Ta có \( b = \frac{\pi}{6} \). Rõ ràng \( 0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} \). Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện. Bước 5: Tính tổng \( a+b \)

Cuối cùng, chúng ta tính tổng \( a+b \):
\[ a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \]

Vậy, giá trị của \( a+b \) là \( \frac{\pi}{3} \).

Bước 6: Đối chiếu với các lựa chọn

So sánh kết quả của chúng ta với các lựa chọn đề bài đưa ra:
a. \( \frac{\pi}{3} \)
b. \( \frac{\pi}{4} \)
c. \( \frac{\pi}{6} \)
d. \( \frac{\pi}{2} \)

Chúng ta thấy rằng đáp án chính xác là a. \( \frac{\pi}{3} \).

Bài toán này giúp chúng ta ôn lại công thức biến đổi biểu thức \( A\sin x + B\cos x \) về dạng \( R\sin(x+\alpha) \) và cách xác định các góc lượng giác đặc biệt. Chúc các em học tốt và luôn tự tin với môn Toán nhé!