Biến đổi thành tổng A= sinx.sin2x.sin3x B=cos.cos2x.cos3x

Chào các em học sinh, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán biến đổi tích thành tổng. Đây là một dạng bài quan trọng trong chương trình Lượng giác lớp 10, giúp chúng ta đơn giản hóa các biểu thức phức tạp.

Để làm được dạng bài này, chúng ta sẽ áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng mà các em đã được học:

Nhắc lại các công thức biến đổi tích thành tổng:
$$\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$$
$$\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$$
$$\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$$
$$\cos a\sin b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)-\sin (a-b)]$$

Chúng ta sẽ tiến hành biến đổi từng biểu thức một.

Bài giải:

1. Biểu thức A = sinx.sin2x.sin3x

Giải thích phương pháp: Để biến đổi tích của ba hàm sin thành tổng, chúng ta sẽ áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng hai lần. Đầu tiên, ta nhóm hai hàm sin bất kỳ, biến đổi chúng thành tổng. Sau đó, ta sẽ có một biểu thức dạng tích của một hàm sin với một tổng (hoặc hiệu) của các hàm cos, rồi tiếp tục nhân phân phối và áp dụng công thức lần thứ hai.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Nhóm và biến đổi tích $\sin 2x\sin 3x$ thành tổng.
Chúng ta sẽ dùng công thức $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$.
Chọn $a=3x$ và $b=2x$ để góc $a-b$ là số dương.
$$\sin 3x\sin 2x=\frac{1}{2}[\cos (3x-2x)-\cos (3x+2x)]$$
$$=\frac{1}{2}(\cos x-\cos 5x)$$

Bước 2: Thay kết quả vào biểu thức A và nhân phân phối. $$A=\sin x\cdot \left[\frac{1}{2}(\cos x-\cos 5x)\right]$$
$$A=\frac{1}{2}(\sin x\cos x-\sin x\cos 5x)$$

Bước 3: Biến đổi từng tích còn lại thành tổng.

Với tích thứ nhất $\sin x\cos x$:
Áp dụng công thức $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$.
Chọn $a=x$ và $b=x$.
$$\sin x\cos x=\frac{1}{2}[\sin (x-x)+\sin (x+x)]$$
$$=\frac{1}{2}(\sin 0+\sin 2x)$$
Vì $\sin 0=0$, nên:
$$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$$

Với tích thứ hai $\sin x\cos 5x$:
Áp dụng công thức $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$.
Chọn $a=x$ và $b=5x$.
$$\sin x\cos 5x=\frac{1}{2}[\sin (x-5x)+\sin (x+5x)]$$
$$=\frac{1}{2}[\sin (-4x)+\sin 6x]$$
Vì $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$, nên:
$$=\frac{1}{2}(-\sin 4x+\sin 6x)$$

Bước 4: Thay các kết quả vừa biến đổi vào biểu thức A và rút gọn. $$A=\frac{1}{2}[\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)-\left(\frac{1}{2}(-\sin 4x+\sin 6x)\right)]$$
$$A=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}(-\sin 4x+\sin 6x)$$
$$A=\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{4}\sin 4x-\frac{1}{4}\sin 6x$$
$$A=\frac{1}{4}(\sin 2x+\sin 4x-\sin 6x)$$

Vậy biểu thức A đã được biến đổi thành tổng (hoặc hiệu):
$$A=\frac{1}{4}(\sin 2x+\sin 4x-\sin 6x)$$

2. Biểu thức B = cosx.cos2x.cos3x

Giải thích phương pháp: Tương tự như biểu thức A, để biến đổi tích của ba hàm cos thành tổng, chúng ta sẽ áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng hai lần. Ta nhóm hai hàm cos bất kỳ, biến đổi chúng thành tổng. Sau đó, ta sẽ có một biểu thức dạng tích của một hàm cos với một tổng của các hàm cos, rồi tiếp tục nhân phân phối và áp dụng công thức lần thứ hai.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Nhóm và biến đổi tích $\cos 2x\cos 3x$ thành tổng.
Chúng ta sẽ dùng công thức $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$.
Chọn $a=3x$ và $b=2x$ để góc $a-b$ là số dương.
$$\cos 3x\cos 2x=\frac{1}{2}[\cos (3x-2x)+\cos (3x+2x)]$$
$$=\frac{1}{2}(\cos x+\cos 5x)$$

Bước 2: Thay kết quả vào biểu thức B và nhân phân phối. $$B=\cos x\cdot \left[\frac{1}{2}(\cos x+\cos 5x)\right]$$
$$B=\frac{1}{2}(\cos x\cos x+\cos x\cos 5x)$$

Bước 3: Biến đổi từng tích còn lại thành tổng.

Với tích thứ nhất $\cos x\cos x$:
Áp dụng công thức $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$.
Chọn $a=x$ và .
$$\cos x\cos x=\frac{1}{2}[\cos (x-x)+\cos (x+x)]$$
$$=\frac{1}{2}(\cos 0+\cos 2x)$$
Vì $\cos 0=1$, nên:
$$\cos x\cos x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)$$

Với tích thứ hai $\cos x\cos 5x$:
Áp dụng công thức $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$.
Chọn $a=5x$ và $b=x$.
$$\cos 5x\cos x=\frac{1}{2}[\cos (5x-x)+\cos (5x+x)]$$
$$=\frac{1}{2}(\cos 4x+\cos 6x)$$

Bước 4: Thay các kết quả vừa biến đổi vào biểu thức B và rút gọn. $$B=\frac{1}{2}[\left(\frac{1}{2}(1+\cos 2x)\right)+\left(\frac{1}{2}(\cos 4x+\cos 6x)\right)]$$
$$B=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}(1+\cos 2x)+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}(\cos 4x+\cos 6x)$$
$$B=\frac{1}{4}(1+\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x)$$

Vậy biểu thức B đã được biến đổi thành tổng:
$$B=\frac{1}{4}(1+\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x)$$

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách biến đổi tích thành tổng trong lượng giác. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để thành thạo kiến thức này nhé! Chúc các em học tốt!