Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về phương trình lượng giác rất thú vị. Các em đã sẵn sàng chưa nào?

Chúng ta sẽ cùng nhau xem xét phương trình:
sin2x = 1

Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình lượng giác cơ bản.
Các em còn nhớ trường hợp đặc biệt của phương trình sin(u) = 1 không nào? Khi sin(u) = 1, thì góc u của chúng ta phải bằng \(\frac{\pi}{2}\) cộng với bội số nguyên của \(2\pi\). Tức là:
\(u = \frac{\pi}{2} + k2\pi\)
với \(k\) là một số nguyên (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Trong bài toán của chúng ta, “u” chính là \(2x\). Vậy nên, ta có:
\(2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\)

Bước 2: Tìm nghiệm x.
Để tìm \(x\), chúng ta chỉ cần chia cả hai vế của phương trình ở Bước 1 cho 2:
\(x = \frac{\frac{\pi}{2} + k2\pi}{2}\)
\(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\)
Đây chính là họ nghiệm tổng quát của phương trình đã cho. Điều này có nghĩa là với mỗi giá trị nguyên của \(k\), chúng ta sẽ nhận được một nghiệm của phương trình.

Bước 3: Biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Bây giờ, chúng ta sẽ hình dung họ nghiệm này trên đường tròn lượng giác. Đường tròn lượng giác là một đường tròn có bán kính bằng 1, tâm tại gốc tọa độ \(O(0,0)\). Mỗi điểm trên đường tròn này biểu diễn một góc lượng giác.

Chúng ta cần xác định các điểm ứng với họ nghiệm \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\).
Cô sẽ thử lần lượt các giá trị nguyên của \(k\):

– Khi \(k = 0\): \(x = \frac{\pi}{4} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{4}\). Điểm này ứng với góc \(\frac{\pi}{4}\) (tức là 45 độ) trên đường tròn lượng giác. Nó nằm ở góc phần tư thứ nhất.

– Khi \(k = 1\): \(x = \frac{\pi}{4} + 1 \cdot \pi = \frac{5\pi}{4}\). Điểm này ứng với góc \(\frac{5\pi}{4}\) trên đường tròn lượng giác. Góc này đối diện với góc \(\frac{\pi}{4}\), nằm ở góc phần tư thứ ba.

– Khi \(k = 2\): \(x = \frac{\pi}{4} + 2 \cdot \pi\). Góc này trùng với góc \(\frac{\pi}{4}\) trên đường tròn lượng giác vì hơn kém nhau một chu kỳ \(2\pi\).

– Khi \(k = -1\): \(x = \frac{\pi}{4} + (-1) \cdot \pi = -\frac{3\pi}{4}\). Góc này cũng trùng với góc \(\frac{5\pi}{4}\) trên đường tròn lượng giác vì \(-\frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} – 2\pi\).

Các em thấy đấy, cứ mỗi khi \(k\) tăng thêm 1 đơn vị, ta lại có một góc mới cách góc cũ một góc \(\pi\). Trên đường tròn lượng giác, hai góc cách nhau \(\pi\) radian (tức là 180 độ) sẽ là hai điểm đối xứng qua tâm đường tròn.

Vì vậy, họ nghiệm \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\) chỉ cho chúng ta 2 điểm khác nhau trên đường tròn lượng giác. Một điểm ứng với góc \(\frac{\pi}{4}\) và một điểm ứng với góc \(\frac{5\pi}{4}\).

Kết luận:
Khi biểu diễn họ nghiệm của phương trình sin2x = 1 trên đường tròn lượng giác, ta được 2 đơn vị điểm.

Các em đã hiểu bài chưa nào? Nếu có thắc mắc gì, hãy mạnh dạn hỏi cô nhé!