Xin chào các em học sinh thân mến của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách biểu diễn miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Bài tập của chúng ta là: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x – 2y \(\geq\) 0.

Để làm được bài này, chúng ta sẽ đi qua các bước sau đây, giống như trong sách giáo khoa Toán lớp 10 của chúng ta nhé.

Bước 1: Xét phương trình tương ứng

Đầu tiên, chúng ta sẽ thay dấu bất đẳng thức “<=" hoặc ">=” bằng dấu bằng “=” để có được phương trình đường thẳng tương ứng.

Trong trường hợp này, bất phương trình của chúng ta là x – 2y \(\geq\) 0.
Vậy, phương trình đường thẳng tương ứng sẽ là:
x – 2y = 0

Bước 2: Tìm hai điểm thuộc đường thẳng

Để vẽ một đường thẳng, chúng ta chỉ cần hai điểm thuộc đường thẳng đó. Chúng ta có thể chọn hai giá trị tùy ý cho x hoặc y rồi tìm giá trị còn lại.

Cách đơn giản nhất là chọn các giá trị sao cho việc tính toán dễ dàng.

* Chọn x = 0:
Thay x = 0 vào phương trình x – 2y = 0, ta có:
0 – 2y = 0
Suy ra: y = 0
Vậy, ta có điểm thứ nhất là A(0, 0).

* Chọn y = 1: (Hoặc bất kỳ giá trị nào khác, ví dụ x=2 cũng được)
Thay y = 1 vào phương trình x – 2y = 0, ta có:
x – 2(1) = 0
x – 2 = 0
Suy ra: x = 2
Vậy, ta có điểm thứ hai là B(2, 1).

Bước 3: Vẽ đường thẳng (d) đi qua hai điểm đã tìm

Chúng ta sẽ vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A(0, 0) và B(2, 1) trên hệ trục tọa độ Oxy.

Lưu ý quan trọng: Vì bất phương trình của chúng ta có dấu “\(\geq\)”, tức là bao gồm cả dấu bằng, nên đường thẳng này sẽ là một phần của miền nghiệm. Do đó, khi vẽ, chúng ta sẽ vẽ đường thẳng này là một nét liền. Nếu bất phương trình là “<" hoặc ">” (không có dấu bằng), chúng ta sẽ vẽ đường thẳng đó là nét đứt.

Bước 4: Chọn một điểm bất kỳ không thuộc đường thẳng để thử

Để xác định xem miền nghiệm nằm ở phía nào của đường thẳng, chúng ta sẽ chọn một điểm bất kỳ không nằm trên đường thẳng đã vẽ để thử vào bất phương trình gốc. Điểm dễ chọn nhất và thường là an toàn nhất là gốc tọa độ O(0, 0), NHƯNG trong trường hợp này, gốc tọa độ O(0, 0) lại nằm trên đường thẳng x – 2y = 0 mà chúng ta đã vẽ (vì 0 – 2*0 = 0). Vì vậy, chúng ta cần chọn một điểm khác.

Hãy chọn điểm C(1, 0).

Bây giờ, chúng ta thay tọa độ của điểm C vào bất phương trình gốc: x – 2y \(\geq\) 0.

Thay x = 1 và y = 0 vào, ta có:
1 – 2(0) \(\geq\) 0
1 – 0 \(\geq\) 0
1 \(\geq\) 0

Mệnh đề này là đúng.

Bước 5: Xác định miền nghiệm

Vì khi thử điểm C(1, 0) vào bất phương trình, ta được một mệnh đề đúng, điều đó có nghĩa là tất cả các điểm nằm cùng phía với điểm C(1, 0) so với đường thẳng x – 2y = 0 sẽ là miền nghiệm của bất phương trình.

Điểm C(1, 0) nằm ở phía dưới đường thẳng (nếu nhìn theo trục y).

Vậy, miền nghiệm của bất phương trình x – 2y \(\geq\) 0 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x – 2y = 0 (vẽ nét liền) và chứa gốc tọa độ (vì gốc tọa độ thuộc đường thẳng nên chúng ta cần xác định đúng phía). Cụ thể, nó là nửa mặt phẳng bao gồm cả đường thẳng đó và tất cả các điểm “bên dưới” hoặc “bên phải” của đường thẳng.

Để dễ hình dung hơn, chúng ta có thể lấy một điểm khác nữa. Ví dụ, lấy điểm D(3, 0).
Thay vào x – 2y \(\geq\) 0:
3 – 2(0) \(\geq\) 0
3 \(\geq\) 0 (Đúng)
Điểm D(3,0) cũng nằm trong miền nghiệm.

Bây giờ, lấy một điểm ở phía bên kia, ví dụ E(0, 1).
Thay vào x – 2y \(\geq\) 0:
0 – 2(1) \(\geq\) 0
-2 \(\geq\) 0 (Sai)
Vậy điểm E(0, 1) không nằm trong miền nghiệm.

Kết luận: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x – 2y = 0 (vẽ nét liền) và chứa tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn x \(\geq\) 2y.

Khi vẽ trên giấy, các em sẽ tô đậm (hoặc gạch chéo) phần nửa mặt phẳng thỏa mãn điều kiện.

Các em đã hiểu chưa nào? Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé. Chúc các em học tốt!