Bình phương thiếu của một tổng hoặc 1 hiệu là gì

Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về một khái niệm rất quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán lớp 8, đó là “bình phương thiếu của một tổng” và “bình phương thiếu của một hiệu”. Đây là những dạng biểu thức đặc biệt mà nếu nắm vững, các em sẽ giải quyết các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử rất nhanh chóng và hiệu quả đấy.

Phần 1: Bình phương thiếu của một tổng là gì?

Bước 1: Định nghĩa

Bình phương thiếu của một tổng (của hai biểu thức $A$ và $B$) là một biểu thức có dạng:

$$A^2–AB+B^2$$

Bước 2: Giải thích ý nghĩa “bình phương thiếu”

Chúng ta đã học hằng đẳng thức “bình phương của một tổng”:

$$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$$

Khi so sánh biểu thức $A^2–AB+B^2$ với hằng đẳng thức trên, các em sẽ thấy nó có các số hạng $A^2$ và $B^2$, nhưng số hạng ở giữa lại là $–AB$ thay vì $+2AB$. Nghĩa là, nó “thiếu” đi hệ số 2 và có dấu ngược lại so với “bình phương của một tổng” thực sự. Vì vậy, người ta gọi nó là “bình phương thiếu của một tổng”.

Bước 3: Lý do sử dụng và ứng dụng

Chúng ta áp dụng khái niệm này chủ yếu để nhận diện và sử dụng trong hằng đẳng thức tổng hai lập phương. Đây là một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em đã học:

$$A^3+B^3=(A+B)(A^2–AB+B^2)$$

Khi gặp biểu thức $A^2–AB+B^2$, ta thường nghĩ đến việc nó là một nhân tử trong công thức tổng hai lập phương để phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút gọn biểu thức.

Phần 2: Bình phương thiếu của một hiệu là gì?

Bước 1: Định nghĩa

Bình phương thiếu của một hiệu (của hai biểu thức $A$ và $B$) là một biểu thức có dạng:

$$A^2+AB+B^2$$

Bước 2: Giải thích ý nghĩa “bình phương thiếu”

Tương tự, chúng ta cũng có hằng đẳng thức “bình phương của một hiệu”:

$$(A–B{)}^2=A^2–2AB+B^2$$

Biểu thức $A^2+AB+B^2$ cũng có $A^2$ và $B^2$, nhưng số hạng ở giữa lại là $+AB$ thay vì $–2AB$. Điều này có nghĩa là nó “thiếu” đi hệ số 2 và có dấu ngược lại so với “bình phương của một hiệu” thực sự. Do đó, ta gọi nó là “bình phương thiếu của một hiệu”.

Bước 3: Lý do sử dụng và ứng dụng

Tương tự như trên, “bình phương thiếu của một hiệu” là một nhân tử quan trọng trong hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:

$$A^3–B^3=(A–B)(A^2+AB+B^2)$$

Việc nhận diện biểu thức $A^2+AB+B^2$ giúp chúng ta dễ dàng áp dụng công thức hiệu hai lập phương để giải các bài tập liên quan.

Kết luận

Tóm lại, “bình phương thiếu của một tổng” ($A^2–AB+B^2$) và “bình phương thiếu của một hiệu” ($A^2+AB+B^2$) là những dạng biểu thức bậc hai đóng vai trò là nhân tử trong công thức tổng và hiệu hai lập phương. Việc hiểu rõ và nhớ các dạng này sẽ giúp các em làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn biểu thức một cách hiệu quả nhất nhé!

Chúc các em học tốt!