Chào các em, cô rất vui khi nhận được câu hỏi của các em. Đây là những dạng bài tập rất điển hình về dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình Toán 7. Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ vận dụng một cách linh hoạt “Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”. Cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết từng bài nhé.

c) Tìm x, y, z

Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, trước hết chúng ta cần biến đổi dãy đẳng thức đã cho về dạng quen thuộc \( \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} \).

Ta có: \( \frac{6x}{11} = \frac{9y}{2} = \frac{18z}{5} \)

Ta tìm Bội chung nhỏ nhất của các hệ số của x, y, z ở trên tử, tức là BCNN(6, 9, 18) = 18.

Bây giờ, ta chia tất cả các vế của đẳng thức cho 18:
\[ \frac{6x}{11 \cdot 18} = \frac{9y}{2 \cdot 18} = \frac{18z}{5 \cdot 18} \]
Rút gọn các phân số, ta được:
\[ \frac{x}{11 \cdot 3} = \frac{y}{2 \cdot 2} = \frac{z}{5} \]
\[ \frac{x}{33} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} \]
Bây giờ ta đã có dãy tỉ số bằng nhau ở dạng cơ bản. Theo đề bài, ta có \(-x+y+z = -120\).

Để sử dụng được biểu thức này, chúng ta biến đổi một chút: \( \frac{x}{33} = \frac{-x}{-33} \).

Vậy dãy tỉ số mới là: \( \frac{-x}{-33} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} \)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\[ \frac{-x}{-33} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{-x+y+z}{-33+4+5} = \frac{-120}{-24} = 5 \]
Từ đó, ta dễ dàng tìm được x, y, z:

+ \( \frac{x}{33} = 5 \Rightarrow x = 33 \cdot 5 = 165 \)

+ \( \frac{y}{4} = 5 \Rightarrow y = 4 \cdot 5 = 20 \)

+ \( \frac{z}{5} = 5 \Rightarrow z = 5 \cdot 5 = 25 \)

Vậy, x = 165, y = 20, z = 25.

d) Tìm a, b, c

Ta có dãy tỉ số: \( \frac{a-1}{2} = \frac{b-2}{3} = \frac{c-3}{4} \) và điều kiện \( a-2b+3c = 14 \).

Để xuất hiện \(a, -2b, 3c\) ở trên tử, ta sẽ nhân cả tử và mẫu của các tỉ số tương ứng với 1, -2, 3:

\( \frac{a-1}{2} = \frac{-2(b-2)}{-2 \cdot 3} = \frac{3(c-3)}{3 \cdot 4} \)

\[ \frac{a-1}{2} = \frac{-2b+4}{-6} = \frac{3c-9}{12} \]
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta cộng các tử và các mẫu với nhau:
\[ \frac{(a-1) + (-2b+4) + (3c-9)}{2 + (-6) + 12} = \frac{a-1-2b+4+3c-9}{8} \]
Nhóm các số hạng lại, ta được:
\[ \frac{(a-2b+3c) + (-1+4-9)}{8} \]
Thay \( a-2b+3c = 14 \) vào biểu thức trên:
\[ \frac{14 – 6}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
Do đó:

+ \( \frac{a-1}{2} = 1 \Rightarrow a-1 = 2 \Rightarrow a = 3 \)

+ \( \frac{b-2}{3} = 1 \Rightarrow b-2 = 3 \Rightarrow b = 5 \)

+ \( \frac{c-3}{4} = 1 \Rightarrow c-3 = 4 \Rightarrow c = 7 \)

Vậy, a = 3, b = 5, c = 7.

Bài 3: Tìm x, y, z

Đây là một dạng bài rất hay. Các em hãy quan sát các biểu thức trên tử nhé.

Ta có dãy tỉ số: \( \frac{12x-15y}{7} = \frac{20z-12x}{9} = \frac{15y-20z}{11} \)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta cộng tất cả các tử và mẫu lại:
\[ \frac{(12x-15y) + (20z-12x) + (15y-20z)}{7+9+11} \]
Ở trên tử, các hạng tử sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
\[ \frac{(12x-12x) + (-15y+15y) + (20z-20z)}{27} = \frac{0}{27} = 0 \]
Vì dãy tỉ số bằng 0, nên mỗi tỉ số trong dãy đều bằng 0:

+ \( \frac{12x-15y}{7} = 0 \Rightarrow 12x – 15y = 0 \Rightarrow 12x = 15y \)

+ \( \frac{20z-12x}{9} = 0 \Rightarrow 20z – 12x = 0 \Rightarrow 20z = 12x \)

Từ đây ta suy ra: \( 15y = 12x = 20z \).

Bây giờ, ta lại đưa về dạng bài toán cơ bản. Ta tìm BCNN(15, 12, 20) = 60.

Chia các vế cho 60, ta được:
\[ \frac{15y}{60} = \frac{12x}{60} = \frac{20z}{60} \]
Rút gọn, ta có:
\[ \frac{y}{4} = \frac{x}{5} = \frac{z}{3} \]
Sắp xếp lại cho dễ nhìn: \( \frac{x}{5} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3} \).

Lại áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với điều kiện \( x+y+z = 48 \):
\[ \frac{x}{5} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3} = \frac{x+y+z}{5+4+3} = \frac{48}{12} = 4 \]
Từ đó, ta tìm được x, y, z:

+ \( \frac{x}{5} = 4 \Rightarrow x = 5 \cdot 4 = 20 \)

+ \( \frac{y}{4} = 4 \Rightarrow y = 4 \cdot 4 = 16 \)

+ \( \frac{z}{3} = 4 \Rightarrow z = 3 \cdot 4 = 12 \)

Vậy, x = 20, y = 16, z = 12.

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và biến đổi một cách khéo léo là chúng ta có thể giải quyết được các bài toán này. Chúc các em học tốt