Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập khá thú vị về con lắc đơn liên quan đến chu kỳ dao động. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt công thức tính chu kỳ con lắc đơn và giải hệ phương trình.

Đầu tiên, chúng ta cùng ôn lại công thức tính chu kỳ của con lắc đơn. Theo sách giáo khoa Vật lý lớp 12, chu kỳ dao động điều hòa của con lắc đơn được cho bởi công thức:
T = 2π√(l/g)

Trong đó:
* T là chu kỳ dao động (s)
* l là chiều dài con lắc (m)
* g là gia tốc trọng trường (m/s²)

Từ công thức này, chúng ta có thể bình phương hai vế để thu được mối liên hệ giữa T² và l:
T² = (4π²/g) * l

Điều này cho thấy chu kỳ dao động của con lắc đơn tỉ lệ thuận với căn bậc hai của chiều dài, hay nói cách khác, bình phương chu kỳ dao động tỉ lệ thuận với chiều dài của con lắc.

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng vào bài toán cụ thể.

Chúng ta có bốn con lắc đơn với chiều dài lần lượt là l₁, l₂, l₃ = l₁ + l₂ và l₄ = l₁ – l₂.
Chu kỳ tương ứng là T₁, T₂, T₃ = 2,4s và T₄ = 0,8s.

Từ mối liên hệ T² ∝ l, ta có thể viết:
T₁² = k * l₁
T₂² = k * l₂
T₃² = k * l₃
T₄² = k * l₄

với k = 4π²/g là một hằng số.

Ta có các phương trình liên hệ giữa chiều dài và chu kỳ:
l₁ = T₁²/k
l₂ = T₂²/k
l₃ = T₃²/k
l₄ = T₄²/k

Thay các biểu thức chiều dài vào các điều kiện đề bài cho:
l₃ = l₁ + l₂ => T₃²/k = T₁²/k + T₂²/k
l₄ = l₁ – l₂ => T₄²/k = T₁²/k – T₂²/k

Chúng ta có thể giản ước k ở cả hai vế của các phương trình trên, và thu được mối quan hệ giữa các bình phương chu kỳ:
T₃² = T₁² + T₂² (1)
T₄² = T₁² – T₂² (2)

Bây giờ, chúng ta thế các giá trị chu kỳ đã cho vào các phương trình này:
T₃ = 2,4s => T₃² = (2,4)² = 5,76 s²
T₄ = 0,8s => T₄² = (0,8)² = 0,64 s²

Thay vào phương trình (1):
5,76 = T₁² + T₂² (3)

Thay vào phương trình (2):
0,64 = T₁² – T₂² (4)

Đây là một hệ hai phương trình với hai ẩn là T₁² và T₂². Chúng ta có thể giải hệ này.

Cộng phương trình (3) và (4):
(T₁² + T₂²) + (T₁² – T₂²) = 5,76 + 0,64
2T₁² = 6,4
T₁² = 3,2 s²

Trừ phương trình (4) cho phương trình (3):
(T₁² + T₂²) – (T₁² – T₂²) = 5,76 – 0,64
2T₂² = 5,12
T₂² = 2,56 s²

Bây giờ chúng ta có bình phương chu kỳ của hai con lắc đầu tiên. Ta có thể tìm được chiều dài tương ứng:
l₁ = T₁²/k
l₂ = T₂²/k

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tìm giá trị cụ thể của l₁ và l₂. Chúng ta cần biết giá trị của hằng số k = 4π²/g. Thông thường trong các bài tập Vật lý phổ thông, ta lấy g ≈ 9,8 m/s² hoặc g ≈ 10 m/s². Tuy nhiên, các đáp án cho sẵn có thể giúp chúng ta “ngược” lại để tìm ra cách giải phù hợp.

Chúng ta hãy thử kiểm tra mối quan hệ giữa l₁ và l₂ dựa trên các đáp án.
Các đáp án đều cho l₁ và l₂ với những giá trị cụ thể. Chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ T² = (4π²/g) * l.
Từ đó suy ra T₁²/T₂² = l₁/l₂.
Và T₃²/T₁² = (l₁ + l₂)/l₁.
Và T₄²/T₁² = (l₁ – l₂)/l₁.

Tuy nhiên, một cách tiếp cận khác hiệu quả hơn là dựa vào T₃² = T₁² + T₂² và T₄² = T₁² – T₂².
Chúng ta đã tìm được T₁² = 3,2 s² và T₂² = 2,56 s².

Bây giờ, hãy kiểm tra các đáp án xem đáp án nào thỏa mãn T₁² = 3,2 và T₂² = 2,56 (hoặc ngược lại, vì chúng ta chưa xác định l1 là cái nào lớn hơn).
Chúng ta có thể giả sử g = 10 m/s² để tính toán cho nhanh. Khi đó k = 4π²/10 ≈ 4π²/10.

Ta có l = T² * g / (4π²).
Nếu l₁ = 0,64m và l₂ = 0,8m (Đáp án A):
l₁/l₂ = 0,64/0,8 = 0,8
T₁²/T₂² = 3,2 / 2,56 = 1,25. Rõ ràng không khớp.

Nếu l₁ = 0,8m và l₂ = 0,64m (Đáp án D):
l₁/l₂ = 0,8/0,64 = 1,25
T₁²/T₂² = 3,2 / 2,56 = 1,25. Khớp!

Bây giờ, chúng ta kiểm tra xem với l₁=0,8m và l₂=0,64m thì có thỏa mãn các điều kiện T₃ và T₄ hay không.
Chúng ta sẽ dùng giá trị g = 10 m/s².
k = 4π²/g = 4π²/10.

l₁ = 0,8m => T₁² = l₁ g / (4π²) = 0,8 10 / (4π²) = 8 / (4π²) = 2 / (π²)
l₂ = 0,64m => T₂² = l₂ g / (4π²) = 0,64 10 / (4π²) = 6,4 / (4π²) = 1,6 / (π²)

Khi đó T₁² + T₂² = (2 + 1,6) / (π²) = 3,6 / (π²).
Và T₁² – T₂² = (2 – 1,6) / (π²) = 0,4 / (π²).

Chúng ta cần T₃² = 5,76 và T₄² = 0,64.
Nếu T₁² + T₂² = 5,76 và T₁² – T₂² = 0,64, thì ta đã giải hệ ra T₁² = 3,2 và T₂² = 2,56.
Điều này có nghĩa là mối quan hệ giữa T² và l là trực tiếp, không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của g hay k.

Chúng ta đã tìm được:
T₁² = 3,2 s²
T₂² = 2,56 s²

Bây giờ, chúng ta cần tìm l₁ và l₂. Chúng ta sử dụng lại mối quan hệ T² = (4π²/g) * l.
Ta có l = T² * g / (4π²).
Giả sử g = 10 m/s².
l₁ = 3,2 * 10 / (4π²) = 32 / (4π²) = 8 / (π²) ≈ 8 / (3,14159²) ≈ 8 / 9,8696 ≈ 0,8105 m
l₂ = 2,56 * 10 / (4π²) = 25,6 / (4π²) = 6,4 / (π²) ≈ 6,4 / 9,8696 ≈ 0,6485 m

Giá trị này gần với đáp án D.
Tuy nhiên, chúng ta không nhất thiết phải tính giá trị cụ thể của g.

Ta đã có:
T₁² = 3,2
T₂² = 2,56

Và l₁ = C * T₁²
l₂ = C * T₂²
với C = g / (4π²) là một hằng số.

Từ các đáp án, ta có thể suy ra tỉ lệ của l₁ và l₂.
Nếu chọn đáp án D: l₁ = 0,8m và l₂ = 0,64m.
Tỉ lệ l₁/l₂ = 0,8/0,64 = 80/64 = 10/8 = 5/4 = 1,25.

Tỉ lệ T₁²/T₂² = 3,2 / 2,56 = 320 / 256.
Chia cả tử và mẫu cho 64: 320/64 = 5, 256/64 = 4.
Vậy T₁²/T₂² = 5/4 = 1,25.

Vì l₁/l₂ = T₁²/T₂², nên đáp án D là phù hợp.
Để chắc chắn, chúng ta kiểm tra lại:
Nếu l₁ = 0,8m và l₂ = 0,64m.
Thì l₃ = l₁ + l₂ = 0,8 + 0,64 = 1,44m.
Và l₄ = l₁ – l₂ = 0,8 – 0,64 = 0,16m.

Ta có T³ = 2π√(l/g). Vậy T² ∝ l.
T₁² ∝ l₁ = 0,8
T₂² ∝ l₂ = 0,64
T₃² ∝ l₃ = 1,44
T₄² ∝ l₄ = 0,16

Ta có T₃² = T₁² + T₂² và T₄² = T₁² – T₂².
Từ T₃² ∝ 1,44 và T₁² + T₂² ∝ 0,8 + 0,64 = 1,44. Điều này khớp.
Từ T₄² ∝ 0,16 và T₁² – T₂² ∝ 0,8 – 0,64 = 0,16. Điều này khớp.

Bây giờ chúng ta sử dụng các giá trị chu kỳ đã cho:
T₃² = 2,4² = 5,76
T₄² = 0,8² = 0,64

Ta cần tìm l₁ và l₂ sao cho T₁² và T₂² có tỉ lệ phù hợp và tổng/hiệu của chúng tạo ra T₃² và T₄² đúng.
Ta đã có T₁² = 3,2 và T₂² = 2,56.
Tỉ lệ l₁/l₂ = T₁²/T₂² = 3,2/2,56 = 1,25.

Với đáp án D: l₁=0,8m, l₂=0,64m.
l₁/l₂ = 0,8/0,64 = 1,25.
Đây chính là mối quan hệ mà chúng ta tìm được.

Vậy, chiều dài l₁ và l₂ nhận giá trị:
l₁ = 0,8m
l₂ = 0,64m

Chúng ta đã giải bài toán bằng cách thiết lập mối quan hệ giữa bình phương chu kỳ và chiều dài, sau đó giải hệ phương trình để tìm bình phương chu kỳ, và cuối cùng sử dụng tỉ lệ để chọn đáp án đúng.

Đáp án cuối cùng là D.

Chúc các em ôn tập tốt!