Xin chào tất cả các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại một kiến thức rất cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong hình học không gian lớp 11: Đó là các cách xác định một mặt phẳng duy nhất. Đây là nền tảng để chúng ta có thể dựng hình, chứng minh và giải quyết các bài toán phức tạp sau này đấy các em ạ.

Chúng ta sẽ cùng phân tích từng lựa chọn một nhé!

A. Ba điểm phân biệt

Chúng ta hãy nhớ lại kiến thức đã học. Để xác định một mặt phẳng, điều kiện tiên quyết là ba điểm đó không thẳng hàng.

• Trường hợp 1: Nếu ba điểm đó không thẳng hàng, thì chúng hoàn toàn xác định một mặt phẳng duy nhất. Điều này đúng theo tiên đề về mặt phẳng mà chúng ta đã học.
• Trường hợp 2: Nếu ba điểm đó thẳng hàng (tức là chúng nằm trên cùng một đường thẳng), thì qua đường thẳng này có vô số mặt phẳng đi qua. Các em hãy hình dung một đường thẳng như là trục của một cánh cửa, và cánh cửa đó có thể xoay quanh trục đó để tạo ra vô số vị trí khác nhau, mỗi vị trí là một mặt phẳng.

Vì vậy, chỉ với “ba điểm phân biệt” mà không có thêm điều kiện “không thẳng hàng” thì chưa đủ để xác định một mặt phẳng duy nhất.

B. Một điểm và một đường thẳng

Tương tự như trường hợp trên, chúng ta cần xét vị trí tương đối của điểm và đường thẳng.

• Trường hợp 1: Nếu điểm đó nằm trên đường thẳng. Khi đó, sự kết hợp này chỉ tương đương với một đường thẳng (vì điểm đó đã thuộc đường thẳng rồi). Mà như chúng ta đã biết, qua một đường thẳng có vô số mặt phẳng đi qua.
• Trường hợp 2: Nếu điểm đó không nằm trên đường thẳng. Khi đó, ta có thể chọn hai điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đã cho. Cùng với điểm ban đầu (điểm không nằm trên đường thẳng), chúng ta sẽ có ba điểm không thẳng hàng. Và ba điểm không thẳng hàng này sẽ xác định một mặt phẳng duy nhất.

Do đó, “một điểm và một đường thẳng” cũng chưa đủ để luôn xác định một mặt phẳng duy nhất.

C. Hai đường thẳng cắt nhau

Đây chính là một trong những cách cơ bản và chắc chắn nhất để xác định một mặt phẳng duy nhất.

Giả sử chúng ta có hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau tại một điểm \(I\).

Chúng ta có thể làm như sau:

• Chọn điểm \(I\) (giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\)).
• Chọn một điểm \(A\) bất kỳ thuộc đường thẳng \(d_1\) (và \(A \ne I\)).
• Chọn một điểm \(B\) bất kỳ thuộc đường thẳng \(d_2\) (và \(B \ne I\)).

Khi đó, ba điểm \(A, I, B\) là ba điểm phân biệt và chắc chắn không thẳng hàng (vì nếu chúng thẳng hàng, thì \(A, I, B\) sẽ cùng thuộc một đường thẳng. Mà \(A\) thuộc \(d_1\), \(B\) thuộc \(d_2\). Điều này chỉ xảy ra nếu \(d_1\) và \(d_2\) trùng nhau, nhưng chúng ta đang nói đến hai đường thẳng cắt nhau).

Vì ba điểm \(A, I, B\) không thẳng hàng, chúng xác định một mặt phẳng duy nhất. Và mặt phẳng này chính là mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng cắt nhau \(d_1\) và \(d_2\).

Vậy, hai đường thẳng cắt nhau luôn xác định một mặt phẳng duy nhất. Đây là một trong những tiên đề quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ.

D. Bốn điểm phân biệt

Khi chúng ta có bốn điểm phân biệt, có thể xảy ra các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Bốn điểm đó cùng nằm trên một mặt phẳng (gọi là bốn điểm đồng phẳng). Khi đó, mặt phẳng này được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng bất kỳ trong số chúng. Tuy nhiên, việc có thêm điểm thứ tư không làm cho mặt phẳng đó trở nên “duy nhất” hơn, mà nó chỉ xác nhận rằng mặt phẳng đã xác định bởi ba điểm đó còn chứa thêm điểm thứ tư. Hơn nữa, việc có bốn điểm đồng phẳng là một điều kiện cần phải được chứng minh, không phải lúc nào cũng đúng.
• Trường hợp 2: Bốn điểm đó không cùng nằm trên một mặt phẳng (gọi là bốn điểm không đồng phẳng). Trong trường hợp này, sẽ không có bất kỳ mặt phẳng nào có thể chứa cả bốn điểm đó. Ví dụ điển hình là bốn đỉnh của một hình chóp tam giác (tứ diện).

Do đó, “bốn điểm phân biệt” không thể luôn xác định một mặt phẳng duy nhất, thậm chí có khi không có mặt phẳng nào chứa cả bốn điểm đó.

Kết luận:

Dựa trên phân tích chi tiết từng trường hợp, chúng ta thấy rằng yếu tố duy nhất luôn xác định một mặt phẳng duy nhất là:

C. Hai đường thẳng cắt nhau

Các em hãy nắm thật vững các tiên đề và định lý về cách xác định mặt phẳng nhé. Đây là kiến thức nền tảng giúp các em học tốt hình học không gian đấy! Chúc các em học tập thật hiệu quả!