Chào em, cô rất vui được hỗ trợ em giải bài tập này nhé! Đây là một dạng bài tập rất hay gặp trong chương trình Toán lớp 9 về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Cô sẽ hướng dẫn em từng bước thật chi tiết và dễ hiểu.

Đề bài của chúng ta là: \[ \sqrt{17 – 3\sqrt{32}} – \sqrt{17 – 3\sqrt{32}} \]

Bước 1: Phân tích và nhận dạng cấu trúc bài toán

Quan sát biểu thức, em thấy rằng chúng ta có hai căn thức giống hệt nhau trừ đi nhau. Về mặt hình thức, nếu ta đặt \( A = \sqrt{17 – 3\sqrt{32}} \), thì biểu thức của chúng ta có dạng \( A – A \). Nếu vậy, kết quả sẽ là 0. Tuy nhiên, để làm rõ và chắc chắn, cũng như rèn luyện kỹ năng rút gọn căn thức, chúng ta hãy cùng rút gọn từng căn thức trước nhé.

Phần chính của bài toán là rút gọn biểu thức \( \sqrt{17 – 3\sqrt{32}} \). Đây là dạng biểu thức \( \sqrt{a – \sqrt{b}} \) mà chúng ta thường tìm cách đưa về dạng \( \sqrt{(\sqrt{x} – \sqrt{y})^2} = |\sqrt{x} – \sqrt{y}| \).

Bước 2: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn để xuất hiện dạng \( a^2 – 2ab + b^2 \)

Để đưa về dạng bình phương của một hiệu, ta cần biến đổi số hạng có chứa căn thành \( 2\sqrt{xy} \). Ở đây ta có \( 3\sqrt{32} \).

• Đầu tiên, ta rút gọn \( \sqrt{32} \):

\[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \]

• Vậy, \( 3\sqrt{32} \) sẽ trở thành:

\[ 3\sqrt{32} = 3 \cdot (4\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} \]

Bây giờ, biểu thức dưới dấu căn là \( 17 – 12\sqrt{2} \). Chúng ta cần biến đổi \( 12\sqrt{2} \) thành dạng \( 2\sqrt{xy} \).

Ta có \( 12\sqrt{2} = 2 \cdot 6\sqrt{2} = 2\sqrt{6^2 \cdot 2} = 2\sqrt{36 \cdot 2} = 2\sqrt{72} \).

Vậy, biểu thức dưới dấu căn trở thành \( 17 – 2\sqrt{72} \).

Giải thích: Việc biến đổi về dạng \( 2\sqrt{xy} \) giúp chúng ta dễ dàng tìm ra hai số \( x \) và \( y \) mà tổng của chúng là số còn lại (ở đây là 17) và tích của chúng là số dưới dấu căn (ở đây là 72). Đây là kỹ thuật cơ bản để đưa biểu thức dưới căn về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu.

Bước 3: Tìm hai số hạng \( x \) và \( y \) để tạo thành bình phương

Ta cần tìm hai số \( x \) và \( y \) sao cho:

• Tổng của chúng bằng 17: \( x + y = 17 \)
• Tích của chúng bằng 72: \( x \cdot y = 72 \)

Chúng ta có thể nhẩm hoặc giải phương trình bậc hai. Hai số đó chính là 9 và 8 (vì \( 9+8=17 \) và \( 9 \cdot 8 = 72 \)).

Vậy, ta có thể viết lại \( 17 – 2\sqrt{72} \) như sau:

\[ 17 – 2\sqrt{72} = 9 – 2\sqrt{9 \cdot 8} + 8 \]

\[ = (\sqrt{9})^2 – 2\sqrt{9}\sqrt{8} + (\sqrt{8})^2 \]

\[ = (\sqrt{9} – \sqrt{8})^2 \]

\[ = (3 – 2\sqrt{2})^2 \]

Giải thích: Công thức \( a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2 \) là một hằng đẳng thức quan trọng. Bằng cách tìm hai số \( x, y \) như trên, chúng ta đã biến đổi thành công biểu thức về dạng bình phương của một hiệu.

Bước 4: Khai căn và xác định giá trị tuyệt đối

Bây giờ chúng ta sẽ khai căn bậc hai của biểu thức vừa tìm được:

\[ \sqrt{17 – 3\sqrt{32}} = \sqrt{(3 – 2\sqrt{2})^2} \]

Áp dụng công thức \( \sqrt{A^2} = |A| \), ta có:

\[ \sqrt{(3 – 2\sqrt{2})^2} = |3 – 2\sqrt{2}| \]

Để phá dấu giá trị tuyệt đối, ta cần so sánh \( 3 \) và \( 2\sqrt{2} \).

• Ta có \( 3 = \sqrt{9} \).
• Và \( 2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8} \).

Vì \( \sqrt{9} > \sqrt{8} \), nên \( 3 > 2\sqrt{2} \). Điều này có nghĩa là \( 3 – 2\sqrt{2} \) là một số dương.

Do đó, \( |3 – 2\sqrt{2}| = 3 – 2\sqrt{2} \).

Bước 5: Hoàn thiện biểu thức ban đầu

Chúng ta đã rút gọn được \( \sqrt{17 – 3\sqrt{32}} = 3 – 2\sqrt{2} \).

Quay trở lại với biểu thức ban đầu:

\[ \sqrt{17 – 3\sqrt{32}} – \sqrt{17 – 3\sqrt{32}} \]

Thay kết quả vừa rút gọn vào:

\[ = (3 – 2\sqrt{2}) – (3 – 2\sqrt{2}) \]

\[ = 3 – 2\sqrt{2} – 3 + 2\sqrt{2} \]

\[ = (3 – 3) + (-2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \]

\[ = 0 + 0 = 0 \]

Vậy, giá trị của biểu thức là 0.

Lời kết:

Em thấy đó, dù biểu thức ban đầu có vẻ phức tạp nhưng sau khi rút gọn từng phần, bài toán trở nên rất đơn giản. Kỹ năng quan trọng nhất ở đây là biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu để có thể khai căn dễ dàng. Em hãy luyện tập thêm dạng bài này để làm quen nhé!