Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rất thú vị liên quan đến căn bậc hai trong chương trình Toán lớp 9. Bài toán này đòi hỏi sự tỉ mỉ và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học.

Chúng ta sẽ giải bài toán: \( \sqrt{9-4\sqrt{5}} + \sqrt{9+4\sqrt{5}} \)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương của một hiệu hoặc bình phương của một tổng.

Bước 1: Phân tích biểu thức \( \sqrt{9-4\sqrt{5}} \)

Ta cần tìm hai số \( a \) và \( b \) sao cho:
\( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 = 9 – 4\sqrt{5} \)

Nhìn vào phần \( -4\sqrt{5} \), ta có thể suy đoán rằng \( 2ab = 4\sqrt{5} \), hay \( ab = 2\sqrt{5} \).
Và \( a^2 + b^2 = 9 \).

Ta thử các cặp số sao cho tích của chúng bằng \( 2\sqrt{5} \).
Nếu \( a = 2 \) và \( b = \sqrt{5} \), ta kiểm tra:
\( a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9 \).
Thỏa mãn!

Vậy, \( 9 – 4\sqrt{5} \) có thể viết lại thành \( (2 – \sqrt{5})^2 \) hoặc \( (\sqrt{5} – 2)^2 \).
Vì \( \sqrt{9-4\sqrt{5}} \) là một giá trị không âm, ta cần xét dấu của biểu thức bên trong.
Ta có \( 2 = \sqrt{4} \) và \( \sqrt{5} \). Vì \( \sqrt{5} > \sqrt{4} \), nên \( \sqrt{5} > 2 \).
Do đó, \( 2 – \sqrt{5} < 0 \). Để \( \sqrt{9-4\sqrt{5}} \) có giá trị dương, ta phải viết là \( \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} \). Áp dụng công thức \( \sqrt{x^2} = |x| \), ta có: \( \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2| \). Vì \( \sqrt{5} > 2 \), nên \( \sqrt{5}-2 > 0 \).
Do đó, \( |\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2 \).

Vậy, \( \sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{5}-2 \).

Bước 2: Phân tích biểu thức \( \sqrt{9+4\sqrt{5}} \)

Tương tự, ta cần tìm hai số \( a \) và \( b \) sao cho:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 9 + 4\sqrt{5} \)

Ta cũng có \( 2ab = 4\sqrt{5} \), hay \( ab = 2\sqrt{5} \).
Và \( a^2 + b^2 = 9 \).

Với \( a = 2 \) và \( b = \sqrt{5} \) (hoặc ngược lại), ta đã kiểm tra ở Bước 1 và thấy \( a^2 + b^2 = 9 \).

Vậy, \( 9 + 4\sqrt{5} \) có thể viết lại thành \( (2 + \sqrt{5})^2 \).
Áp dụng công thức \( \sqrt{x^2} = |x| \), ta có:
\( \sqrt{(2+\sqrt{5})^2} = |2+\sqrt{5}| \).
Vì \( 2 > 0 \) và \( \sqrt{5} > 0 \), nên \( 2+\sqrt{5} > 0 \).
Do đó, \( |2+\sqrt{5}| = 2+\sqrt{5} \).

Vậy, \( \sqrt{9+4\sqrt{5}} = 2+\sqrt{5} \).

Bước 3: Cộng hai kết quả lại

Bây giờ, chúng ta cộng kết quả của Bước 1 và Bước 2:
\( \sqrt{9-4\sqrt{5}} + \sqrt{9+4\sqrt{5}} = (\sqrt{5}-2) + (2+\sqrt{5}) \)

\( = \sqrt{5} – 2 + 2 + \sqrt{5} \)
\( = (\sqrt{5} + \sqrt{5}) + (-2 + 2) \)
\( = 2\sqrt{5} + 0 \)
\( = 2\sqrt{5} \)

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức \( \sqrt{9-4\sqrt{5}} + \sqrt{9+4\sqrt{5}} \) là \( 2\sqrt{5} \).

Các em thấy đó, bài toán này tuy nhìn có vẻ phức tạp nhưng chỉ cần chúng ta nắm vững cách phân tích biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương, mọi thứ sẽ trở nên đơn giản.

Chúc các em học tốt!