Căn phòng có thể tích 60m3. Tăng nhiệt độ của phòng từ 10 độ C đến 27 độ C. Biết…

Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về định luật chất khí, cụ thể là sự thay đổi khối lượng khí trong một không gian kín nhưng thông với bên ngoài khi nhiệt độ thay đổi. Bài toán này rất thực tế và giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa nhiệt độ, áp suất, thể tích và khối lượng của chất khí.

PHÂN TÍCH ĐỀ BÀI VÀ XÁC ĐỊNH PHƯƠNG PHÁP:

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm khối lượng không khí thoát ra khỏi căn phòng khi nhiệt độ tăng. Các thông số được cho là thể tích căn phòng, nhiệt độ ban đầu, nhiệt độ cuối cùng, và khối lượng riêng của không khí ở điều kiện tiêu chuẩn. Áp suất trong phòng được coi là áp suất chuẩn, không đổi và bằng áp suất môi trường.

Vì căn phòng có thể tích không đổi và thông với môi trường bên ngoài, nên áp suất không khí trong phòng luôn bằng áp suất khí quyển (áp suất chuẩn) và cũng không đổi. Khi nhiệt độ tăng, không khí sẽ nở ra. Do áp suất không đổi và thể tích căn phòng cũng không đổi, một phần không khí sẽ thoát ra ngoài để duy trì áp suất bên trong bằng áp suất bên ngoài. Khối lượng không khí thoát ra chính là hiệu số giữa khối lượng không khí ban đầu và khối lượng không khí còn lại trong phòng sau khi nhiệt độ tăng.

Chúng ta sẽ áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng (còn gọi là phương trình Clapeyron-Mendeleev) dưới dạng liên hệ giữa khối lượng riêng và nhiệt độ khi áp suất không đổi. Lý do là vì bài toán liên quan đến sự thay đổi khối lượng chất khí, không chỉ đơn thuần là các thông số trạng thái của cùng một lượng khí.

LỜI GIẢI CHI TIẾT:

Bước 1: Chuyển đổi nhiệt độ từ độ Celsius sang độ Kelvin.

Để áp dụng các định luật về chất khí, chúng ta cần sử dụng nhiệt độ tuyệt đối (độ Kelvin).

Nhiệt độ ban đầu của phòng là $t_1=10{}^{\circ }C$.

Chuyển sang độ Kelvin: $T_1=t_1+273=10+273=283K$.

Nhiệt độ cuối cùng của phòng là $t_2=27{}^{\circ }C$.

Chuyển sang độ Kelvin: $T_2=t_2+273=27+273=300K$.

Điều kiện tiêu chuẩn (mà khối lượng riêng ${\rho }_0$ được cho) là nhiệt độ $t_0=0{}^{\circ }C$.

Chuyển sang độ Kelvin: $T_0=t_0+273=0+273=273K$.

Bước 2: Xác định các thông số không đổi và thiết lập mối liên hệ giữa khối lượng riêng và nhiệt độ.

Thể tích căn phòng $V=60m^3$ là không đổi.

Áp suất không khí trong phòng luôn là áp suất chuẩn $P$ và không đổi.

Từ phương trình trạng thái khí lí tưởng $PV=\frac{m}{\mu }RT$, với $m$ là khối lượng khí, $\mu$ là khối lượng mol của khí, $R$ là hằng số khí lí tưởng.

Ta có thể biểu diễn khối lượng riêng $\rho =\frac{m}{V}$.

Thay vào phương trình trên, ta được: $PV=\frac{\rho V}{\mu }RT$.

Rút gọn $V$, ta có: $P=\frac{\rho RT}{\mu }$.

Khi áp suất $P$ không đổi, và $R,\mu$ là hằng số, thì tích $\rho T$ là một hằng số:

$$\rho T=\text{const}$$

Lý do áp dụng: Phương trình này cho phép chúng ta tìm khối lượng riêng của không khí ở các nhiệt độ khác nhau khi áp suất được giữ nguyên, dựa vào khối lượng riêng đã biết ở điều kiện chuẩn.

Bước 3: Tính khối lượng riêng của không khí ở nhiệt độ ban đầu và cuối cùng.

Khối lượng riêng của không khí ở điều kiện tiêu chuẩn (áp suất chuẩn $P_0$ và nhiệt độ $T_0=273K$) là ${\rho }_0=1.29\text{kg}/{\text{m}}^3$.

Áp dụng hệ thức $\rho T=\text{const}$:

Đối với nhiệt độ ban đầu $T_1$:

$${\rho }_1{T}_1={\rho }_0{T}_0\Rightarrow {\rho }_1={\rho }_0\frac{T_0}{T_1}$$
$${\rho }_1=1.29\text{kg}/{\text{m}}^3\cdot \frac{273K}{283K}\approx 1.244\text{kg}/{\text{m}}^3$$

Đối với nhiệt độ cuối cùng $T_2$:
$${\rho }_2{T}_2={\rho }_0{T}_0\Rightarrow {\rho }_2={\rho }_0\frac{T_0}{T_2}$$
$${\rho }_2=1.29\text{kg}/{\text{m}}^3\cdot \frac{273K}{300K}\approx 1.173\text{kg}/{\text{m}}^3$$

Bước 4: Tính khối lượng không khí ban đầu và khối lượng không khí còn lại trong phòng.

Khối lượng không khí ban đầu trong phòng ($m_1$):
$$m_1={\rho }_{1}V=1.244\text{kg}/{\text{m}}^3\cdot 60{\text{m}}^3\approx 74.64\text{kg}$$

Khối lượng không khí còn lại trong phòng sau khi tăng nhiệt độ ($m_2$):
$$m_2={\rho }_{2}V=1.173\text{kg}/{\text{m}}^3\cdot 60{\text{m}}^3\approx 70.38\text{kg}$$

Bước 5: Tính khối lượng không khí thoát ra khỏi căn phòng.

Khối lượng không khí thoát ra là hiệu số giữa khối lượng không khí ban đầu và khối lượng không khí còn lại:

$$\mathrm{\Delta }m=m_1-m_2$$
$$\mathrm{\Delta }m\approx 74.64\text{kg}-70.38\text{kg}\approx 4.26\text{kg}$$

Để có kết quả chính xác hơn, chúng ta có thể gộp các phép tính lại:

$$\mathrm{\Delta }m=({\rho }_1-{\rho }_2)V=({\rho }_0\frac{T_0}{T_1}-{\rho }_0\frac{T_0}{T_2})V$$
$$\mathrm{\Delta }m={\rho }_0{T}_{0}V(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})$$
$$\mathrm{\Delta }m=1.29\cdot 273\cdot 60(\frac{1}{283}-\frac{1}{300})$$
$$\mathrm{\Delta }m=21128.4(\frac{300-283}{283\cdot 300})$$
$$\mathrm{\Delta }m=21128.4\cdot \frac{17}{84900}$$
$$\mathrm{\Delta }m\approx 4.23\text{kg}$$

Đáp số: Khối lượng không khí thoát ra khỏi căn phòng là khoảng $4.23\text{kg}$.