Câu 1 (1,5 điểm).

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) x² – 3x – 4 = 0

Đây là một phương trình bậc hai có dạng tổng quát ax² + bx + c = 0.
Để giải phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.
Ở đây, hệ số a = 1, b = -3, c = -4.

* Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm

Trước hết, chúng ta tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
Thay số vào ta có:
\[ \Delta = (-3)^2 – 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \times 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
\[ x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) – \sqrt{25}}{2 \times 1} = \frac{3 – 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

* Cách 2: Phân tích thành nhân tử

Ta có thể nhẩm hoặc sử dụng phương pháp tách hạng tử để phân tích phương trình thành nhân tử.
Ta tìm hai số có tích bằng ac = 1 * (-4) = -4 và có tổng bằng b = -3. Hai số đó là -4 và 1.
\[ x^2 – 3x – 4 = 0 \]
\[ x^2 – 4x + x – 4 = 0 \]
\[ x(x – 4) + 1(x – 4) = 0 \]
\[ (x – 4)(x + 1) = 0 \]
Khi đó, ta có hai trường hợp:
Hoặc \( x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \)
Hoặc \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là S = {-1; 4}.

b) [Đề bài bị thiếu, giả định là một hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn theo dạng sách giáo khoa]

Giả sử phương trình là một hệ phương trình có dạng:
\[ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \]
Nếu đề bài là một hệ phương trình cụ thể, xin em cung cấp lại để thầy có thể giải chi tiết ạ.
Tuy nhiên, nếu là một câu hỏi tự luận, em cần nắm vững các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như:
* Phương pháp thế: Rút một ẩn từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại.
* Phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp rồi cộng hoặc trừ hai phương trình với nhau để khử một ẩn.

Câu 2 (3,0 điểm).

1. Cho phương trình x² – 2(m-1)x + m² – 3 = 0 (với x là ẩn, m là tham số)

a) Giải phương trình với m = 2

Khi m = 2, ta thay m vào phương trình đã cho:
\[ x^2 – 2(2-1)x + 2^2 – 3 = 0 \]
\[ x^2 – 2(1)x + 4 – 3 = 0 \]
\[ x^2 – 2x + 1 = 0 \]
Đây là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải bằng cách nhận diện hằng đẳng thức hoặc sử dụng công thức nghiệm.
Nhận thấy đây là dạng bình phương của một hiệu:
\[ (x – 1)^2 = 0 \]
\[ x – 1 = 0 \]
\[ x = 1 \]
Vậy, khi m = 2, phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Để chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi m, ta cần chứng minh biệt thức Delta (\(\Delta\)) hoặc Delta phẩy (\(\Delta’\)) của phương trình luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của m.

Phương trình có dạng: x² – 2(m-1)x + m² – 3 = 0
Ta xác định các hệ số:
a = 1
b = -2(m-1)
c = m² – 3

Ta sẽ tính biệt thức Delta phẩy (\(\Delta’\)) vì hệ số b có dạng 2b’.
Ta có b’ = – (m-1) = 1 – m.
\[ \Delta’ = (b’)^2 – ac \]
Thay số vào ta có:
\[ \Delta’ = (-(m-1))^2 – 1 \times (m^2 – 3) \]
\[ \Delta’ = (m-1)^2 – (m^2 – 3) \]
\[ \Delta’ = (m^2 – 2m + 1) – m^2 + 3 \]
\[ \Delta’ = m^2 – 2m + 1 – m^2 + 3 \]
\[ \Delta’ = -2m + 4 \]

* Lưu ý quan trọng: Thầy nhận thấy ở đây có một điểm cần xem xét kỹ. Biệt thức Delta phẩy (\(\Delta’\)) lại phụ thuộc vào m và có thể âm. Để phương trình luôn có nghiệm, ta cần \(\Delta’ \ge 0\). Vậy, điều này có nghĩa là phương trình KHÔNG luôn có nghiệm với mọi m, mà chỉ có nghiệm khi \(-2m + 4 \ge 0 \Rightarrow 2m \le 4 \Rightarrow m \le 2\).

Nếu đề bài yêu cầu “Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m”, có thể có sai sót trong đề bài hoặc cách hiểu. Tuy nhiên, nếu đề bài đã cho như vậy, và yêu cầu chứng minh, chúng ta cần xem lại các bước tính toán hoặc xem xét lại yêu cầu đề bài.

Giả định để tiếp tục bài toán theo yêu cầu “luôn có nghiệm với mọi m”:
Có thể đề bài có một sự nhầm lẫn nhỏ và hệ số của x hoặc c có dạng khác.
Tuy nhiên, với phương trình đã cho, kết luận là phương trình chỉ có nghiệm khi m \(\le\) 2.

Nếu đề bài thực sự yêu cầu chứng minh “luôn có nghiệm với mọi m” và phương trình là như trên, thì câu này không thể chứng minh được.

Tuy nhiên, nếu đề bài cho là: x² – 2(m-1)x + (m² – 2m + 1) = 0 (tức là c = (m-1)²), thì khi đó:
\(\Delta’ = (m-1)^2 – (m-1)^2 = 0\), phương trình luôn có nghiệm kép.

Hoặc nếu đề bài là: x² – 2(m-1)x + m² – 2m + 1 = 0, thì c = m² – 2m + 1.
\(\Delta’ = (m-1)^2 – (m^2 – 2m + 1) = m^2 – 2m + 1 – m^2 + 2m – 1 = 0\).

Chúng ta sẽ giải theo đúng đề bài đã cho, và chỉ ra rằng phương trình không luôn có nghiệm với mọi m.

Ta có: \(\Delta’ = -2m + 4\).
Để phương trình có nghiệm, ta cần \(\Delta’ \ge 0\).
\[ -2m + 4 \ge 0 \]
\[ -2m \ge -4 \]
\[ m \le 2 \]
Vậy, phương trình đã cho chỉ có nghiệm khi m \(\le\) 2, chứ không phải luôn có nghiệm với mọi m. Có thể đề bài có một chút sai sót. Nếu em gặp lại bài này trong kiểm tra, hãy trình bày rõ ràng như trên.

2. Cho (P) : y = x²; (d): y = 3x + 4. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P), ta cho tung độ của chúng bằng nhau. Tức là, ta giải phương trình hoành độ giao điểm:
\[ x^2 = 3x + 4 \]
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để được một phương trình bậc hai:
\[ x^2 – 3x – 4 = 0 \]
Đây chính là phương trình ở Câu 1a, mà chúng ta đã giải.
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt:
* \( x_1 = 4 \)
* \( x_2 = -1 \)

Bây giờ, ta tìm tung độ y tương ứng với mỗi hoành độ x bằng cách thay vào một trong hai phương trình (P) hoặc (d). Thay vào phương trình (d) thường dễ hơn.

* Với \( x_1 = 4 \):
\( y_1 = 3x_1 + 4 = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16 \)
Vậy, ta có giao điểm thứ nhất là \( A(4; 16) \).

* Với \( x_2 = -1 \):
\( y_2 = 3x_2 + 4 = 3(-1) + 4 = -3 + 4 = 1 \)
Vậy, ta có giao điểm thứ hai là \( B(-1; 1) \).

Vậy, tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là \( A(4; 16) \) và \( B(-1; 1) \).

Các em đã xem qua các bước giải chi tiết. Hãy tự luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.