Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về lượng giác khá thú vị, đòi hỏi các em phải nắm vững các công thức cơ bản và biết cách biến đổi linh hoạt. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì kiểm tra, đánh giá. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước một nhé!

Bước 1: Biến đổi biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn.

Đề bài cho chúng ta phương trình: \( \frac{1}{\tan^2a} + \frac{1}{\cot^2a} + \frac{1}{\sin^2a} + \frac{1}{\cos^2a} = 7 \).

Để đơn giản hóa biểu thức này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản sau:

• Công thức nghịch đảo: \( \frac{1}{\tan a} = \cot a \) và \( \frac{1}{\cot a} = \tan a \). Do đó, \( \frac{1}{\tan^2a} = \cot^2a \) và \( \frac{1}{\cot^2a} = \tan^2a \).
• Công thức liên hệ giữa tang, cotang với sin, cos:
  • \( 1 + \tan^2a = \frac{1}{\cos^2a} \)
  • \( 1 + \cot^2a = \frac{1}{\sin^2a} \)

Áp dụng các công thức trên, chúng ta thay thế vào phương trình đã cho:

Thay \( \frac{1}{\tan^2a} = \cot^2a \) và \( \frac{1}{\cot^2a} = \tan^2a \) vào phương trình, ta được:

\[ \cot^2a + \tan^2a + \frac{1}{\sin^2a} + \frac{1}{\cos^2a} = 7 \]

Tiếp theo, chúng ta thay \( \frac{1}{\sin^2a} = 1 + \cot^2a \) và \( \frac{1}{\cos^2a} = 1 + \tan^2a \) vào phương trình:

\[ \cot^2a + \tan^2a + (1 + \cot^2a) + (1 + \tan^2a) = 7 \]

Ghép các hạng tử giống nhau lại:

\[ ( \cot^2a + \cot^2a ) + ( \tan^2a + \tan^2a ) + ( 1 + 1 ) = 7 \]
\[ 2\cot^2a + 2\tan^2a + 2 = 7 \]

Rút gọn phương trình bằng cách chuyển số hạng tự do sang vế phải:

\[ 2(\cot^2a + \tan^2a) = 7 – 2 \]
\[ 2(\cot^2a + \tan^2a) = 5 \]

Cuối cùng, chúng ta có một biểu thức đơn giản hơn:

\[ \cot^2a + \tan^2a = \frac{5}{2} \]

Đây là một kết quả rất quan trọng mà chúng ta sẽ sử dụng ở bước tiếp theo để tìm giá trị của \( \cos4a \).

Bước 2: Biểu diễn kết quả vừa tìm được theo sin hoặc cos của góc bội.

Mục tiêu của chúng ta là tính \( \cos4a \). Thông thường, để tính các giá trị lượng giác của góc bội như \( 4a \), chúng ta sẽ cố gắng đưa biểu thức về dạng có chứa \( \sin2a \) hoặc \( \cos2a \).

Hãy biến đổi \( \cot^2a + \tan^2a \) về dạng chỉ chứa \( \sin a \) và \( \cos a \):

\[ \cot^2a + \tan^2a = \frac{\cos^2a}{\sin^2a} + \frac{\sin^2a}{\cos^2a} \]

Để cộng hai phân số này, chúng ta quy đồng mẫu số chung là \( \sin^2a \cos^2a \):

\[ \cot^2a + \tan^2a = \frac{\cos^2a \cdot \cos^2a + \sin^2a \cdot \sin^2a}{\sin^2a \cos^2a} \]
\[ \cot^2a + \tan^2a = \frac{\cos^4a + \sin^4a}{\sin^2a \cos^2a} \]

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi tử số và mẫu số để làm xuất hiện các biểu thức của góc \( 2a \):

• Với tử số \( \cos^4a + \sin^4a \): Chúng ta nhớ lại hằng đẳng thức \( A^2 + B^2 = (A+B)^2 – 2AB \). Áp dụng với \( A = \cos^2a \) và \( B = \sin^2a \):
  \[ \cos^4a + \sin^4a = (\cos^2a + \sin^2a)^2 – 2\sin^2a\cos^2a \]
  Mà \( \cos^2a + \sin^2a = 1 \) (đây là công thức lượng giác cơ bản), nên:
  \[ \cos^4a + \sin^4a = 1^2 – 2\sin^2a\cos^2a = 1 – 2\sin^2a\cos^2a \]
• Với mẫu số \( \sin^2a \cos^2a \): Chúng ta nhớ công thức nhân đôi \( \sin2a = 2\sin a \cos a \). Bình phương hai vế ta được \( (\sin2a)^2 = (2\sin a \cos a)^2 \), tức là \( \sin^2(2a) = 4\sin^2a\cos^2a \). Từ đó suy ra:
  \[ \sin^2a\cos^2a = \frac{1}{4}\sin^2(2a) \]

Thay các biểu thức đã biến đổi của tử số và mẫu số vào lại đẳng thức \( \cot^2a + \tan^2a \):

\[ \cot^2a + \tan^2a = \frac{1 – 2\sin^2a\cos^2a}{\sin^2a\cos^2a} \]

Để làm xuất hiện \( \sin^2(2a) \) một cách rõ ràng hơn, chúng ta có thể chia từng số hạng ở tử số cho mẫu số:

\[ \cot^2a + \tan^2a = \frac{1}{\sin^2a\cos^2a} – \frac{2\sin^2a\cos^2a}{\sin^2a\cos^2a} \]
\[ \cot^2a + \tan^2a = \frac{1}{\sin^2a\cos^2a} – 2 \]

Tiếp tục thay \( \sin^2a\cos^2a = \frac{1}{4}\sin^2(2a) \) vào biểu thức:

\[ \cot^2a + \tan^2a = \frac{1}{\frac{1}{4}\sin^2(2a)} – 2 \]
\[ \cot^2a + \tan^2a = \frac{4}{\sin^2(2a)} – 2 \]

Bây giờ chúng ta kết hợp với kết quả từ Bước 1: \( \cot^2a + \tan^2a = \frac{5}{2} \). Ta có phương trình:

\[ \frac{4}{\sin^2(2a)} – 2 = \frac{5}{2} \]

Giải phương trình này để tìm \( \sin^2(2a) \):

\[ \frac{4}{\sin^2(2a)} = \frac{5}{2} + 2 \]
\[ \frac{4}{\sin^2(2a)} = \frac{5}{2} + \frac{4}{2} \]
\[ \frac{4}{\sin^2(2a)} = \frac{9}{2} \]

Nhân chéo để tìm \( \sin^2(2a) \):

\[ 9\sin^2(2a) = 4 \cdot 2 \]
\[ 9\sin^2(2a) = 8 \]
\[ \sin^2(2a) = \frac{8}{9} \]

Chúng ta đã tìm được giá trị của \( \sin^2(2a) \), đây là một bước đệm quan trọng để tính \( \cos4a \).

Bước 3: Tính giá trị của \( \cos4a \).

Để tính \( \cos4a \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi cho cosin. Công thức này cho phép chúng ta tính \( \cos(2x) \) nếu biết \( \sin^2x \):

\[ \cos(2x) = 1 – 2\sin^2x \]

Áp dụng công thức này với \( x = 2a \), chúng ta có:

\[ \cos(4a) = \cos(2 \cdot 2a) = 1 – 2\sin^2(2a) \]

Bây giờ, chúng ta thay giá trị \( \sin^2(2a) = \frac{8}{9} \) mà chúng ta đã tìm được ở Bước 2 vào công thức:

\[ \cos(4a) = 1 – 2 \cdot \frac{8}{9} \]
\[ \cos(4a) = 1 – \frac{16}{9} \]

Quy đồng mẫu số để tính toán:

\[ \cos(4a) = \frac{9}{9} – \frac{16}{9} \]
\[ \cos(4a) = -\frac{7}{9} \]

Vậy, giá trị cần tìm là \( \cos4a = -\frac{7}{9} \).

Qua bài tập này, các em thấy rằng việc nắm vững các công thức lượng giác cơ bản, đặc biệt là các công thức biến đổi và công thức nhân đôi, cùng với khả năng biến đổi linh hoạt các biểu thức là chìa khóa để giải quyết bài toán. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các kĩ năng này nhé!