Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về tính chất chia hết. Dù bài toán có vẻ hơi lạ một chút, nhưng với kiến thức chúng ta đã học, cô tin là các em sẽ làm được.

Bài toán của chúng ta là: Cho (3a+2b) chia hết cho 17. Chứng minh rằng (10a+b) chia hết cho 17.

Trước hết, các em hãy nhớ lại kiến thức về tính chất chia hết mà chúng ta đã học nhé.
Một số chia hết cho một số khác có nghĩa là phép chia đó cho kết quả là một số nguyên và không có số dư.
Nếu một số A chia hết cho một số C, ta có thể viết A = k * C, với k là một số nguyên.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào các bước giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích đề bài và liên hệ với kiến thức đã học.
Đề bài cho chúng ta biết: (3a+2b) chia hết cho 17.
Điều này có nghĩa là, ta có thể biểu diễn (3a+2b) dưới dạng một bội số của 17. Tức là:
(3a+2b) = 17k, với k là một số nguyên nào đó.

Chúng ta cần chứng minh: (10a+b) chia hết cho 17.
Tức là, ta cần chỉ ra rằng (10a+b) cũng có thể biểu diễn dưới dạng một bội số của 17, ví dụ:
(10a+b) = 17m, với m là một số nguyên nào đó.

Bước 2: Tìm cách tạo ra biểu thức (10a+b) từ biểu thức đã cho (3a+2b).
Mục tiêu của chúng ta là làm thế nào để từ (3a+2b) có thể “biến hóa” thành (10a+b).
Chúng ta có thể nhân hoặc cộng một số nguyên với cả hai vế của một đẳng thức mà không làm thay đổi tính đúng đắn của nó.

Hãy thử nhân biểu thức (3a+2b) với một số nào đó.
Nếu ta nhân (3a+2b) với 3, ta được:
3 * (3a+2b) = 9a + 6b.
Biểu thức này chưa giống với (10a+b) lắm.

Nếu ta nhân (3a+2b) với một số khác, ví dụ như 10, ta được:
10 * (3a+2b) = 30a + 20b.
Cũng chưa giống lắm.

Bây giờ, ta hãy thử nhân biểu thức (10a+b) với một số để xem có liên hệ gì với (3a+2b) không.
Nếu ta nhân (10a+b) với 2, ta được:
2 * (10a+b) = 20a + 2b.
Nhìn vào đây, chúng ta thấy có số hạng 2b giống với số hạng 2b trong biểu thức (3a+2b).

Vậy, chúng ta có ý tưởng sau:
Vì (3a+2b) chia hết cho 17, nên bất kỳ bội số nào của (3a+2b) cũng chia hết cho 17.
Ta xét biểu thức 2 * (3a+2b).
Vì (3a+2b) chia hết cho 17, nên 2 * (3a+2b) cũng chia hết cho 17.
Hay nói cách khác:
2 * (3a+2b) = 6a + 4b.
Và chúng ta biết rằng (6a + 4b) chia hết cho 17.

Bây giờ, chúng ta hãy nhìn vào biểu thức cần chứng minh là (10a+b).
Chúng ta muốn làm xuất hiện số hạng 10a.
Hãy thử làm xuất hiện số hạng 10a từ 6a. Chúng ta cần thêm 4a.
Và chúng ta muốn làm xuất hiện số hạng b từ 4b. Chúng ta cần bớt đi 3b.

Điều này có vẻ hơi phức tạp. Hãy thử một cách khác.

Chúng ta có: (3a+2b) chia hết cho 17.
Ta cũng có thể biểu diễn (10a+b) theo (3a+2b).

Hãy thử biến đổi biểu thức (10a+b) sao cho nó có thể liên quan đến (3a+2b).
Chúng ta có thể nhân (10a+b) với một số, hoặc cộng, trừ một số hạng nào đó.

Xét lại biểu thức 2 * (10a+b) = 20a + 2b.
Chúng ta có (3a+2b) chia hết cho 17.
Ta thấy:
(20a + 2b) – (3a + 2b) = 20a + 2b – 3a – 2b = 17a.

Điều này có nghĩa là:
Nếu (20a + 2b) chia hết cho 17 VÀ (3a + 2b) chia hết cho 17, thì hiệu của chúng (17a) cũng chia hết cho 17.
Điều này là đúng, vì 17a luôn chia hết cho 17.

Vậy, chúng ta đã có một mối liên hệ:
2 * (10a+b) = (3a+2b) + 17a.

Vì (3a+2b) chia hết cho 17, và 17a luôn chia hết cho 17, nên tổng của chúng là:
(3a+2b) + 17a cũng chia hết cho 17.

Do đó, 2 * (10a+b) chia hết cho 17.

Bước 3: Chứng minh từ 2 * (10a+b) chia hết cho 17 suy ra (10a+b) chia hết cho 17.
Chúng ta đã biết một tính chất quan trọng: Nếu một tích của hai số chia hết cho một số nguyên tố, thì ít nhất một trong hai thừa số đó phải chia hết cho số nguyên tố đó.

Ở đây, chúng ta có 2 * (10a+b) chia hết cho 17.
Số 17 là một số nguyên tố.
Thừa số thứ nhất là 2. Thừa số thứ hai là (10a+b).
Vì 2 không chia hết cho 17, nên để tích 2 * (10a+b) chia hết cho 17, thì thừa số còn lại là (10a+b) phải chia hết cho 17.

Trình bày lời giải hoàn chỉnh:

Ta có: (3a+2b) chia hết cho 17.
Điều này có nghĩa là 3a+2b = 17k, với k là một số nguyên.

Xét biểu thức 2 * (10a+b).
Ta có:
2 * (10a+b) = 20a + 2b

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức này để liên hệ với biểu thức đã cho.
Ta có thể viết lại 20a + 2b như sau:
20a + 2b = (3a + 2b) + 17a

Vì (3a+2b) chia hết cho 17 (theo giả thiết), và 17a luôn chia hết cho 17 (vì có thừa số 17), nên tổng của hai số này cũng chia hết cho 17.
Do đó, (3a + 2b) + 17a chia hết cho 17.
Suy ra, 2 * (10a+b) chia hết cho 17.

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh (10a+b) chia hết cho 17.
Ta có tích 2 * (10a+b) chia hết cho 17.
Vì 17 là số nguyên tố, và 2 không chia hết cho 17, nên để tích này chia hết cho 17 thì (10a+b) phải chia hết cho 17.

Vậy, ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.

Kết luận:
Nếu (3a+2b) chia hết cho 17 thì (10a+b) chia hết cho 17.

Các em thấy không, chỉ cần vận dụng khéo léo tính chất chia hết và một chút biến đổi đại số đơn giản, chúng ta đã giải quyết được bài toán. Hãy luôn tự tin vào khả năng của mình nhé!