Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị liên quan đến lũy thừa. Các em hãy cùng theo dõi cô nhé.

Đề bài cho chúng ta biết:
4 mũ x + 4 mũ -x = 14.
Và yêu cầu tính giá trị của biểu thức:
M = (2 + 2 mũ x + 2 mũ – x) / (7 – 2 mũ x – 2 mũ – x).

Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích mối liên hệ giữa 4 mũ x và 2 mũ x.
Các em còn nhớ quy tắc lũy thừa không? Ta có:
\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
Và \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

Vậy, \(4^x\) có thể viết lại như thế nào nhỉ?
À đúng rồi, vì \(4 = 2^2\) nên:
\(4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2\).

Tương tự, \(4^{-x}\) sẽ bằng:
\(4^{-x} = (2^2)^{-x} = 2^{-2x} = (2^{-x})^2\).

Từ đó, phương trình ban đầu \(4^x + 4^{-x} = 14\) có thể viết lại thành:
\( (2^x)^2 + (2^{-x})^2 = 14 \).

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét biểu thức M. Biểu thức M có chứa \(2^x\) và \(2^{-x}\).
Cô có một ý tưởng. Nếu chúng ta đặt \(y = 2^x\), thì \(2^{-x}\) sẽ là gì?
Ta có \(2^{-x} = \frac{1}{2^x}\). Vậy nếu \(y = 2^x\), thì \(2^{-x} = \frac{1}{y}\).

Khi đó, phương trình ban đầu trở thành:
\(y^2 + (\frac{1}{y})^2 = 14\)
\(y^2 + \frac{1}{y^2} = 14\).

Bây giờ, chúng ta hãy biến đổi biểu thức M theo \(y\).
\(M = (2 + y + \frac{1}{y}) / (7 – y – \frac{1}{y})\).

Chúng ta cần tìm giá trị của \(y + \frac{1}{y}\).
Các em còn nhớ hằng đẳng thức \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) không?
Nếu ta lấy \( (y + \frac{1}{y})^2 \), ta sẽ được:
\( (y + \frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{y} + (\frac{1}{y})^2 \)
\( (y + \frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2} \)
\( (y + \frac{1}{y})^2 = (y^2 + \frac{1}{y^2}) + 2 \).

Chúng ta biết \(y^2 + \frac{1}{y^2} = 14\). Thay vào công thức trên:
\( (y + \frac{1}{y})^2 = 14 + 2 \)
\( (y + \frac{1}{y})^2 = 16 \).

Từ đây, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \( y + \frac{1}{y} = \sqrt{16} = 4 \).
Trường hợp 2: \( y + \frac{1}{y} = -\sqrt{16} = -4 \).

Bây giờ, chúng ta xem xét \(y = 2^x\). Vì \(2\) là một số dương, nên \(2^x\) luôn luôn dương với mọi giá trị của \(x\).
Do đó, \(y > 0\).
Và \( \frac{1}{y} = \frac{1}{2^x} = 2^{-x} \) cũng luôn dương.
Vì vậy, \( y + \frac{1}{y} \) phải là một số dương.
Suy ra, \( y + \frac{1}{y} = 4 \).

Bây giờ, chúng ta đã có giá trị của \(y + \frac{1}{y}\). Ta có thể thay vào biểu thức M.
M = (2 + (y + \frac{1}{y})) / (7 – (y + \frac{1}{y})).
Thay \( y + \frac{1}{y} = 4 \) vào biểu thức M:
M = (2 + 4) / (7 – 4).
M = 6 / 3.
M = 2.

Vậy, giá trị của biểu thức M là 2.

Cô nhắc lại các bước chính để các em dễ nhớ:
1. Nhận ra mối liên hệ giữa \(4^x\) và \(2^x\). Viết lại \(4^x = (2^x)^2\) và \(4^{-x} = (2^{-x})^2\).
2. Đặt ẩn phụ \(y = 2^x\). Khi đó, phương trình ban đầu trở thành \(y^2 + (\frac{1}{y})^2 = 14\).
3. Biến đổi biểu thức M theo \(y\).
4. Sử dụng hằng đẳng thức \( (y + \frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2} \) để tìm giá trị của \(y + \frac{1}{y}\).
5. Lưu ý rằng \(y = 2^x > 0\), nên \(y + \frac{1}{y} > 0\). Chọn giá trị dương cho \(y + \frac{1}{y}\).
6. Thay giá trị tìm được của \(y + \frac{1}{y}\) vào biểu thức M để tính kết quả cuối cùng.

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, cứ mạnh dạn hỏi cô.