Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau giải một bài toán hình học rất thú vị về tam giác đều và đường tròn nội tiếp nhé. Các em hãy tập trung và theo dõi từng bước cô hướng dẫn.

Đề bài cho chúng ta biết bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác đều là 6 cm. Nhiệm vụ của chúng ta là tính độ dài cạnh của tam giác đều đó.

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại một số kiến thức về tam giác đều và đường tròn nội tiếp.

Bước 1: Nhắc lại kiến thức về tam giác đều

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau, mỗi góc bằng 60 độ.

Bước 2: Nhắc lại kiến thức về đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.

Trong một tam giác đều, tâm của đường tròn nội tiếp cũng chính là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Bước 3: Vẽ hình minh họa (Tưởng tượng trong đầu hoặc vẽ ra giấy)

Các em hãy tưởng tượng một tam giác đều ABC. Bên trong tam giác này có một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA. Gọi O là tâm của đường tròn nội tiếp và r là bán kính của nó.

Bước 4: Xác định mối liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp và cạnh tam giác đều

Trong một tam giác đều, có một công thức liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp (ký hiệu là r) và độ dài cạnh (ký hiệu là a) của tam giác đó. Công thức này xuất phát từ việc sử dụng diện tích tam giác.

Diện tích của tam giác đều có cạnh là a được tính bằng công thức:
\[ S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác bất kỳ được tính bằng công thức:
\[ r = \frac{S}{p} \]
trong đó S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi của tam giác.

Đối với tam giác đều có cạnh là a, nửa chu vi là:
\[ p = \frac{a+a+a}{2} = \frac{3a}{2} \]

Thay S và p vào công thức tính r:
\[ r = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}} \]
\[ r = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{3a} \]
\[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \]

Vậy, mối liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp (r) và cạnh tam giác đều (a) là:
\[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \]

Bước 5: Áp dụng công thức để tính cạnh tam giác đều

Đề bài cho r = 6 cm. Chúng ta cần tìm a.
Từ công thức trên, ta có thể suy ra cách tính a theo r:
Nhân cả hai vế với 6:
\[ 6r = a\sqrt{3} \]
Chia cả hai vế cho \(\sqrt{3}\):
\[ a = \frac{6r}{\sqrt{3}} \]

Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3}\):
\[ a = \frac{6r\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} \]
\[ a = \frac{6r\sqrt{3}}{3} \]
\[ a = 2r\sqrt{3} \]

Bây giờ, chúng ta thay giá trị r = 6 cm vào công thức này:
\[ a = 2 \times 6 \times \sqrt{3} \]
\[ a = 12\sqrt{3} \]

Vậy, độ dài cạnh của tam giác đều đó là \(12\sqrt{3}\) cm.

Bước 6: Kiểm tra lại kết quả (Tự nhẩm hoặc thử lại)

Nếu cạnh a = \(12\sqrt{3}\) cm, thì bán kính đường tròn nội tiếp r sẽ là:
\[ r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{(12\sqrt{3})\sqrt{3}}{6} = \frac{12 \times 3}{6} = \frac{36}{6} = 6 \]
Kết quả này khớp với đề bài đã cho là r = 6 cm. Vậy bài toán giải đúng.

Kết luận:

Độ dài cạnh của tam giác đều đó là \(12\sqrt{3}\) cm.

Các em thấy đấy, chỉ cần nắm vững công thức và áp dụng đúng các bước thì bài toán sẽ trở nên rất đơn giản. Hãy ôn tập kỹ các công thức liên quan đến tam giác đều và các loại đường tròn của nó nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô.