cho biểu thức: A=4+4^2+4^3+…+4^n …
Tìm n, biết 3A+4=4^2021
Đề bài cho chúng ta biểu thức A = 4 + 42 + 43 + … + 4n và yêu cầu tìm giá trị của n, biết rằng 3A + 4 = 42021.
Chúng ta sẽ cùng nhau đi từng bước để giải quyết bài toán này nhé!
Bước 1: Biến đổi biểu thức A
Chúng ta có biểu thức A = 4 + 42 + 43 + … + 4n. Đây là tổng của các số hạng lập thành một cấp số nhân. Để làm việc với biểu thức này dễ dàng hơn, chúng ta sẽ nhân A với 4.
Nhân cả hai vế của A với 4, ta được:
4A = 4 * (4 + 42 + 43 + … + 4n)
4A = 42 + 43 + 44 + … + 4n+1
Bây giờ, chúng ta sẽ lấy 4A trừ đi A.
4A – A = (42 + 43 + 44 + … + 4n+1) – (4 + 42 + 43 + … + 4n)
Khi thực hiện phép trừ này, chúng ta thấy rằng nhiều số hạng sẽ bị triệt tiêu lẫn nhau: 42, 43, …, 4n.
4A – A = 4n+1 – 4
3A = 4n+1 – 4
Bước 2: Thay biểu thức của 3A vào phương trình đã cho
Đề bài cho chúng ta phương trình: 3A + 4 = 42021.
Chúng ta vừa tìm được 3A = 4n+1 – 4. Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế 3A bằng biểu thức này vào phương trình đề bài cho.
(4n+1 – 4) + 4 = 42021
Bước 3: Rút gọn và giải phương trình
Tiếp tục thực hiện phép tính trong phương trình:
4n+1 – 4 + 4 = 42021
4n+1 = 42021
Bước 4: Tìm giá trị của n
Bây giờ, chúng ta có hai lũy thừa có cùng cơ số là 4 và chúng bằng nhau. Điều này có nghĩa là các số mũ của chúng cũng phải bằng nhau.
Do đó, ta có:
n + 1 = 2021
Để tìm n, chúng ta chỉ cần chuyển 1 sang vế bên phải:
n = 2021 – 1
n = 2020
Kết luận:
Vậy, giá trị của n thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2020.
Giải thích phương pháp:
Chúng ta đã sử dụng phương pháp biến đổi tổng cấp số nhân để đơn giản hóa biểu thức A. Sau đó, chúng ta thay thế biểu thức tương đương của 3A vào phương trình đã cho và giải phương trình lũy thừa bằng cách so sánh số mũ của hai lũy thừa có cùng cơ số. Đây là những kỹ thuật cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 6 để làm quen với các dạng bài về số học và đại số.
Chúc các em học tốt!
Đáp án:
\(n = 2020\)
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
A = 4 + {4^2} + {4^3} + … + {4^n}\\
\Rightarrow 4A = {4^2} + {4^3} + {4^4} + … + {4^{n + 1}}\\
\Rightarrow 4A – A = \left( {{4^2} + {4^3} + {4^4} + … + {4^{n + 1}}} \right) – \left( {4 + {4^2} + {4^3} + … + {4^n}} \right)\\
\Leftrightarrow 3A = {4^{n + 1}} – 4\\
\Leftrightarrow 3A + 4 = {4^{n + 1}}\\
\Leftrightarrow {4^{2021}} = {4^{n + 1}}\\
\Leftrightarrow n + 1 = 2021\\
\Leftrightarrow n = 2020
\end{array}\)
Vậy \(n = 2020\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\(A=4+4^2+4^3+….+4^n\)
\(⇒4A=4^2+4^3+…+4^{n+1}\)
\(⇒4A-A=4^2+4^3+…+4^{n+1}-(4+4^2+4^3+….+4^n)\)
\(⇒3A=4^{n+1}-4\)
\(⇒3A+4=4^{n+1}-4+4=4^{2021}\)
\(⇒4^{n+1}=4^{2021}\)
\(⇔n+1=2021\)
\(⇒n=2021-1\)
\(⇒n=2020\)
Vậy \(n=2020\)