Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, đó là chứng minh một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng. Đây là một dạng bài tập thường gặp và đòi hỏi chúng ta phải hiểu rõ định nghĩa.

Để chứng minh một mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, chúng ta cần chứng minh hai điều kiện sau:

Điều kiện 1: Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.
Điều kiện 2: Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào chi tiết cách chứng minh từng điều kiện này dựa trên kiến thức đã học trong Sách giáo khoa Toán lớp 11.

Phần 1: Chứng minh mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB.

Để chứng minh điều này, chúng ta cần xác định được trung điểm M của đoạn thẳng AB. Nếu đoạn thẳng AB được cho bởi tọa độ hai điểm A và B, ta có thể tính tọa độ trung điểm M theo công thức:
Giả sử A có tọa độ \( (x_A, y_A, z_A) \) và B có tọa độ \( (x_B, y_B, z_B) \).
Khi đó, tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
\( M \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \)

Sau khi tính được tọa độ M, chúng ta cần kiểm tra xem điểm M có thuộc mặt phẳng (P) hay không.
Nếu mặt phẳng (P) được cho bởi phương trình dạng tổng quát: \( ax + by + cz + d = 0 \), ta chỉ cần thay tọa độ của M vào phương trình này. Nếu phương trình nghiệm đúng, tức là \( a \left( \frac{x_A + x_B}{2} \right) + b \left( \frac{y_A + y_B}{2} \right) + c \left( \frac{z_A + z_B}{2} \right) + d = 0 \), thì điểm M thuộc mặt phẳng (P).

Trong trường hợp đoạn thẳng AB và mặt phẳng (P) không được cho bằng tọa độ, ta có thể sử dụng các định lý và tính chất hình học để chứng minh M là trung điểm của AB và M nằm trên (P). Ví dụ, nếu ta biết (P) chứa các điểm mà chúng cách đều A và B, hoặc (P) được xác định bởi các yếu tố hình học liên quan đến trung điểm của AB.

Phần 2: Chứng minh mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB.

Để chứng minh mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB, chúng ta cần chứng minh một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 2.1: Đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trong mặt phẳng (P).

Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) sao cho:
1. \( d_1 \) và \( d_2 \) cắt nhau tại một điểm I.
2. Điểm I này thuộc mặt phẳng (P).
3. Đường thẳng AB vuông góc với \( d_1 \) (ký hiệu là \( AB \perp d_1 \)).
4. Đường thẳng AB vuông góc với \( d_2 \) (ký hiệu là \( AB \perp d_2 \)).

Nếu cả bốn điều kiện này được thỏa mãn, thì theo định lý về hai đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta suy ra đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng (P).

Cách xác định các đường thẳng \( d_1, d_2 \) và điểm I:
– Nếu mặt phẳng (P) được cho bởi phương trình tổng quát \( ax + by + cz + d = 0 \), thì vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \( \vec{n} = (a, b, c) \).
– Đường thẳng AB có vector chỉ phương là \( \vec{AB} \).
– Nếu \( AB \perp (P) \), thì vector chỉ phương của AB sẽ song song hoặc trùng với vector pháp tuyến của (P). Nghĩa là \( \vec{AB} = k \vec{n} \) với k là một số khác 0.

Tuy nhiên, để chứng minh \( AB \perp (P) \), chúng ta không nhất thiết phải đi tìm hai đường thẳng cắt nhau. Chúng ta có thể sử dụng vector chỉ phương và vector pháp tuyến như sau:

Trường hợp 2.2: Sử dụng vector chỉ phương của đường thẳng AB và vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Nếu mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến \( \vec{n} \) và đường thẳng AB có vector chỉ phương \( \vec{u}_{AB} \), thì điều kiện để mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB là vector chỉ phương \( \vec{u}_{AB} \) song song hoặc trùng với vector pháp tuyến \( \vec{n} \).
Nghĩa là \( \vec{u}_{AB} = k \vec{n} \) với k là một số thực khác 0.

Ví dụ minh họa cách áp dụng:

Giả sử đề bài cho đoạn thẳng AB với A(1, 2, 3) và B(3, 4, 5), và mặt phẳng (P) có phương trình \( x + y + z – 6 = 0 \).

Bước 1: Kiểm tra điều kiện 1 (đi qua trung điểm).
Trung điểm M của AB có tọa độ là:
\( M \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + 4}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right) = M(2, 3, 4) \)
Thay tọa độ M vào phương trình mặt phẳng (P):
\( 2 + 3 + 4 – 6 = 9 – 6 = 3 \neq 0 \)
Như vậy, trong ví dụ này, mặt phẳng (P) KHÔNG đi qua trung điểm của AB, nên nó không thể là mặt phẳng trung trực của AB.

Bây giờ, hãy thay đổi một chút để minh họa cho trường hợp mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực.
Giả sử đoạn thẳng AB với A(1, 2, 3) và B(3, 4, 5).
Tìm mặt phẳng trung trực của AB.

Bước 1: Tìm trung điểm M của AB.
\( M \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + 4}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right) = M(2, 3, 4) \)

Bước 2: Tìm vector chỉ phương của AB.
\( \vec{AB} = (3 – 1, 4 – 2, 5 – 3) = (2, 2, 2) \)
Chúng ta có thể chọn vector chỉ phương đơn giản hơn bằng cách chia cho 2: \( \vec{u}_{AB} = (1, 1, 1) \).

Bước 3: Tìm phương trình mặt phẳng trung trực.
Mặt phẳng trung trực của AB sẽ đi qua điểm M(2, 3, 4) và có vector pháp tuyến song song với \( \vec{AB} \).
Ta có thể chọn vector pháp tuyến của mặt phẳng là \( \vec{n} = \vec{u}_{AB} = (1, 1, 1) \).
Phương trình mặt phẳng có dạng \( a(x – x_0) + b(y – y_0) + c(z – z_0) = 0 \), với \( (a, b, c) \) là tọa độ vector pháp tuyến và \( (x_0, y_0, z_0) \) là tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng.
Thay M(2, 3, 4) và \( \vec{n} = (1, 1, 1) \) vào phương trình, ta được:
\( 1(x – 2) + 1(y – 3) + 1(z – 4) = 0 \)
\( x – 2 + y – 3 + z – 4 = 0 \)
\( x + y + z – 9 = 0 \)

Vậy, mặt phẳng \( x + y + z – 9 = 0 \) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Tóm lại, để chứng minh một mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB:
1. Chứng minh (P) đi qua trung điểm M của AB.
2. Chứng minh (P) vuông góc với AB. (Cách thường dùng nhất là chứng minh vector pháp tuyến của (P) song song với vector chỉ phương của AB, hoặc chứng minh AB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P)).

Các em hãy ghi nhớ hai điều kiện này và cách thức chứng minh từng điều kiện. Khi gặp bài tập, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như trên.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em đừng ngần ngại hỏi nhé!