cho em hỏi bình thường 90<a<180 thì sin >0 và cos,tan,cot <0 nhưng nay …
Đường tròn lượng giác là một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ O(0,0) của hệ trục tọa độ Oxy và có bán kính bằng 1.
Các trục tọa độ chia mặt phẳng thành 4 phần, gọi là 4 cung phần tư:
– Cung phần tư thứ nhất (I): 0° < \(a\) < 90°
- Cung phần tư thứ hai (II): 90° < \(a\) < 180°
- Cung phần tư thứ ba (III): 180° < \(a\) < 270°
- Cung phần tư thứ tư (IV): 270° < \(a\) < 360°
Bước 2: Xét vị trí của góc \(a\) trong khoảng 90° <= \(a\) <= 180°
Khoảng giá trị 90° <= \(a\) <= 180° bao gồm các góc nằm ở: - Trục tung dương (ứng với góc 90°) - Toàn bộ cung phần tư thứ hai (90° < \(a\) < 180°) - Trục hoành âm (ứng với góc 180°) Bước 3: Xác định dấu của các giá trị lượng giác tại các góc đặc biệt trong khoảng này
Chúng ta cần xem xét hai góc đặc biệt là 90° và 180°.
Đối với góc 90°:
– sin(90°) = 1. Giá trị này là dương.
– cos(90°) = 0. Giá trị này bằng 0.
– tan(90°) không xác định.
– cot(90°) = 0. Giá trị này bằng 0.
Đối với góc 180°:
– sin(180°) = 0. Giá trị này bằng 0.
– cos(180°) = -1. Giá trị này là âm.
– tan(180°) = 0. Giá trị này bằng 0.
– cot(180°) không xác định.
Bước 4: Xác định dấu của các giá trị lượng giác trong cung phần tư thứ hai (90° < \(a\) < 180°)
Trong cung phần tư thứ hai, ta biết:
– sin(\(a\)) > 0 (vì hoành độ của điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là âm, tung độ là dương. Sin là tung độ).
– cos(\(a\)) < 0 (vì hoành độ là âm).
- tan(\(a\)) = sin(\(a\))/cos(\(a\)). Vì sin > 0 và cos < 0, nên tan(\(a\)) < 0.
- cot(\(a\)) = cos(\(a\))/sin(\(a\)). Vì cos < 0 và sin > 0, nên cot(\(a\)) < 0.
Bước 5: Tổng hợp lại dấu của các giá trị lượng giác cho khoảng 90° <= \(a\) <= 180°
Bây giờ, chúng ta kết hợp kết quả từ Bước 3 và Bước 4.
– Sin(\(a\)):
– Tại 90°, sin(90°) = 1 (dương).
– Trong khoảng 90° < \(a\) < 180°, sin(\(a\)) > 0.
– Tại 180°, sin(180°) = 0 (bằng 0).
Như vậy, cho khoảng 90° <= \(a\) <= 180°, ta có sin(\(a\)) >= 0.
– Cos(\(a\)):
– Tại 90°, cos(90°) = 0 (bằng 0).
– Trong khoảng 90° < \(a\) < 180°, cos(\(a\)) < 0.
- Tại 180°, cos(180°) = -1 (âm).
Như vậy, cho khoảng 90° <= \(a\) <= 180°, ta có cos(\(a\)) <= 0.
- Tan(\(a\)):
– tan(90°) không xác định.
– Trong khoảng 90° < \(a\) < 180°, tan(\(a\)) < 0.
- Tại 180°, tan(180°) = 0 (bằng 0).
Do đó, khi xét dấu, ta cần cẩn thận với trường hợp tan(90°). Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu xét các giá trị lượng giác "còn lại" sau khi đã xác định sin >= 0, thì ta sẽ xem xét tan, cot cho các giá trị \(a\) mà chúng xác định.
Nếu ta xét các giá trị \(a\) sao cho tan(\(a\)) xác định trong khoảng 90° <= \(a\) <= 180°, thì \(a\) có thể là 180° (tan=0) hoặc \(a\) nằm trong khoảng (90°, 180°). Trong trường hợp này, tan(\(a\)) <= 0.
- Cot(\(a\)):
– Tại 90°, cot(90°) = 0 (bằng 0).
– Trong khoảng 90° < \(a\) < 180°, cot(\(a\)) < 0.
- cot(180°) không xác định.
Tương tự như tan, nếu xét các giá trị \(a\) sao cho cot(\(a\)) xác định trong khoảng 90° <= \(a\) <= 180°, thì \(a\) có thể là 90° (cot=0) hoặc \(a\) nằm trong khoảng (90°, 180°). Trong trường hợp này, cot(\(a\)) <= 0.
Kết luận:
Đúng như em suy nghĩ, khi khoảng giá trị của góc \(a\) có bao gồm các điểm mút là 90° và 180°, thì dấu của các giá trị lượng giác cũng cần được xem xét cẩn thận bao gồm cả trường hợp bằng 0.
Cụ thể:
– Với 90° <= \(a\) <= 180°:
- sin(\(a\)) >= 0
– cos(\(a\)) <= 0
- tan(\(a\)) <= 0 (với \(a\) khác 90°)
- cot(\(a\)) <= 0 (với \(a\) khác 180°)
Sự khác biệt giữa "<" và "<=" nằm ở chỗ "<=" bao gồm cả trường hợp bằng 0 tại các điểm mút. Điều này là hoàn toàn chính xác theo định nghĩa toán học.
Em đã nắm rất chắc kiến thức, hãy cứ mạnh dạn hỏi khi có bất kỳ điều gì chưa rõ nhé!
Trong khoảng \(90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}\):
\(\sin \alpha > 0\)
\(\cos \alpha < 0\)
\(\tan \alpha < 0\)
\(\cot \alpha < 0\)
\(->\)
Khi xét khoảng \(90^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}\), xét thêm tại \(\alpha = 90^{\circ}\) và \(\alpha = 180^{\circ}\).
\(\sin 90^{\circ} = 1 > 0\)
\(\sin 180^{\circ} = 0\)
\(\cos 90^{\circ} = 0\)
\(\cos 180^{\circ} = -1 < 0\)
\(\tan 90^{\circ}\) không xác định
\(\tan 180^{\circ} = 0\)
\(\cot 90^{\circ} = 0\)
\(\cot 180^{\circ}\) không xác định
\(->\)
Do đó, khi xét khoảng \(90^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}\)
\(\sin \alpha \ge 0\)
\(\cos \alpha \le 0\)
\(\tan \alpha \le 0\) (với \(\alpha \ne 90^{\circ}\))
\(\cot \alpha \le 0\) (với \(\alpha \ne 180^{\circ}\))