Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về lượng giác rất thú vị. Cô tin rằng với kiến thức đã học, các em hoàn toàn có thể giải quyết được bài tập này.

Bài toán yêu cầu chúng ta tính giá trị của biểu thức P = sin(a + pi/6) . sin(a – pi/6), biết rằng sina = 3/5.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua các bước sau:

Bước 1: Xác định các công thức cần sử dụng

Trong bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức biến đổi lượng giác cơ bản.
Đầu tiên, các em hãy nhớ lại công thức cộng và trừ cho sin:
sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny
sin(x – y) = sinx cosy – cosx siny

Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng công thức này để khai triển biểu thức P.
P = sin(a + pi/6) . sin(a – pi/6)
P = (sina cos(pi/6) + cosa sin(pi/6)) . (sina cos(pi/6) – cosa sin(pi/6))

Đây là một dạng đặc biệt, các em có nhận ra không nào? Nó giống với dạng (A + B)(A – B) = A^2 – B^2.
Ở đây, ta coi A = sina cos(pi/6) và B = cosa sin(pi/6).
Vậy, ta có:
P = (sina cos(pi/6))^2 – (cosa sin(pi/6))^2
P = sin^2 a . cos^2(pi/6) – cos^2 a . sin^2(pi/6)

Bây giờ, chúng ta cần tính giá trị của cos(pi/6) và sin(pi/6).
Các em còn nhớ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt không?
Ta có:
cos(pi/6) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
sin(pi/6) = \(1/2\)

Thay các giá trị này vào biểu thức P:
P = sin^2 a . \((\frac{\sqrt{3}}{2})^2\) – cos^2 a . \((1/2)^2\)
P = sin^2 a . \(3/4\) – cos^2 a . \(1/4\)

Bước 2: Tìm giá trị của cos^2 a

Đề bài cho biết sina = 3/5. Để tính P, chúng ta cần biết giá trị của cos^2 a.
Chúng ta có mối liên hệ giữa sin^2 a và cos^2 a qua công thức cơ bản:
sin^2 a + cos^2 a = 1

Từ đó, ta suy ra:
cos^2 a = 1 – sin^2 a

Bây giờ, chúng ta thay giá trị sina = 3/5 vào:
cos^2 a = 1 – \( (3/5)^2 \)
cos^2 a = 1 – \( 9/25 \)
cos^2 a = \( \frac{25 – 9}{25} \)
cos^2 a = \( 16/25 \)

Bước 3: Thay giá trị vào biểu thức P và tính toán

Chúng ta đã có sin^2 a = \( (3/5)^2 \) = \( 9/25 \) và cos^2 a = \( 16/25 \).
Bây giờ, chúng ta quay lại biểu thức P mà chúng ta đã rút gọn ở Bước 1:
P = sin^2 a . \(3/4\) – cos^2 a . \(1/4\)

Thay các giá trị đã tính được vào:
P = \( (9/25) \cdot (3/4) \) – \( (16/25) \cdot (1/4) \)
P = \( 27/100 \) – \( 16/100 \)
P = \( \frac{27 – 16}{100} \)
P = \( 11/100 \)

Vậy, giá trị của biểu thức P là \( 11/100 \).

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và áp dụng một cách hợp lý, chúng ta đã có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng.

Một cách khác để giải bài toán này là sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Ta có công thức:
sinA sinB = \( \frac{1}{2} [cos(A-B) – cos(A+B)] \)

Áp dụng vào biểu thức P:
P = sin(a + pi/6) . sin(a – pi/6)
Ở đây, ta coi A = a + pi/6 và B = a – pi/6.
Khi đó:
A – B = (a + pi/6) – (a – pi/6) = a + pi/6 – a + pi/6 = \( 2pi/6 = pi/3 \)
A + B = (a + pi/6) + (a – pi/6) = a + pi/6 + a – pi/6 = \( 2a \)

Vậy, theo công thức biến đổi tích thành tổng:
P = \( \frac{1}{2} [cos(pi/3) – cos(2a)] \)

Bây giờ, chúng ta cần tính cos(pi/3) và cos(2a).
Ta có cos(pi/3) = \(1/2\).

Để tính cos(2a), chúng ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc công thức liên hệ giữa cos(2a) và sin a.
Ta có:
cos(2a) = 1 – 2sin^2 a

Thay sina = 3/5 vào:
cos(2a) = 1 – 2\( (3/5)^2 \)
cos(2a) = 1 – 2\( 9/25 \)
cos(2a) = 1 – \( 18/25 \)
cos(2a) = \( \frac{25 – 18}{25} \)
cos(2a) = \( 7/25 \)

Bây giờ, thay giá trị cos(pi/3) và cos(2a) vào biểu thức P:
P = \( \frac{1}{2} [1/2 – 7/25] \)
P = \( \frac{1}{2} [\frac{25 – 14}{50}] \)
P = \( \frac{1}{2} [11/50] \)
P = \( 11/100 \)

Cả hai cách giải đều cho ra cùng một kết quả là \( 11/100 \).
Các em thấy chưa nào, Toán học có rất nhiều con đường để đến đích. Quan trọng là chúng ta hiểu bản chất của vấn đề và biết vận dụng linh hoạt các công thức.

Các em về nhà luyện tập thêm các bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!