Cho góc a với Sina=3/5. Tính cos2a, cos4a, cos6a và sin3a
Chúng ta bắt đầu nhé!
Bài tập: Cho góc \(a\) với \(\sin a = \frac{3}{5}\). Tính \(\cos 2a\), \(\cos 4a\), \(\cos 6a\) và \(\sin 3a\).
Lời giải chi tiết:
Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và công thức góc nhân đôi, góc nhân ba.
Bước 1: Tìm \(\cos a\)
Đề bài cho biết \(\sin a = \frac{3}{5}\). Chúng ta biết rằng với mọi góc \(a\), ta có mối liên hệ giữa \(\sin a\) và \(\cos a\) là:
\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]
Từ đó, ta suy ra:
\[ \cos^2 a = 1 – \sin^2 a \]
Thay giá trị \(\sin a = \frac{3}{5}\) vào, ta được:
\[ \cos^2 a = 1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 – \frac{9}{25} = \frac{25 – 9}{25} = \frac{16}{25} \]
Lấy căn bậc hai hai vế, ta có:
\[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \]
Tuy nhiên, đề bài không cho biết góc \(a\) thuộc góc phần tư nào, nên chúng ta có hai trường hợp cho \(\cos a\). Trong nhiều bài toán thi cử, nếu không có thông tin thêm, ta có thể hiểu rằng góc \(a\) là góc nhọn, khi đó \(\cos a > 0\). Tuy nhiên, để bài toán đầy đủ, ta sẽ xét cả hai trường hợp hoặc giả định một trường hợp cụ thể nếu bài toán yêu cầu. Trong trường hợp này, cô sẽ giả định góc \(a\) thuộc góc phần tư thứ nhất (góc nhọn) để \(\cos a > 0\). Nếu đề bài có thêm điều kiện (ví dụ: \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\)), chúng ta sẽ chọn dấu âm cho \(\cos a\).
Vậy, ta chọn \(\cos a = \frac{4}{5}\) (giả sử \(a\) là góc nhọn).
Bước 2: Tính \(\cos 2a\)
Chúng ta sẽ sử dụng công thức góc nhân đôi cho cosin:
\[ \cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a \]
hoặc
\[ \cos 2a = 2\cos^2 a – 1 \]
hoặc
\[ \cos 2a = 1 – 2\sin^2 a \]
Cô sẽ chọn công thức thứ ba vì ta đã biết giá trị của \(\sin a\) ngay từ đầu.
\[ \cos 2a = 1 – 2\sin^2 a \]
Thay \(\sin a = \frac{3}{5}\) vào, ta được:
\[ \cos 2a = 1 – 2 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 – 2 \left(\frac{9}{25}\right) = 1 – \frac{18}{25} = \frac{25 – 18}{25} = \frac{7}{25} \]
Vậy, \(\cos 2a = \frac{7}{25}\).
Bước 3: Tính \(\cos 4a\)
Để tính \(\cos 4a\), chúng ta có thể xem \(4a\) như là góc nhân đôi của \(2a\). Tức là, ta sẽ áp dụng công thức góc nhân đôi cho \(\cos(2 \cdot (2a))\).
Chúng ta đã có \(\cos 2a = \frac{7}{25}\). Tương tự như Bước 2, ta có các công thức sau cho \(\cos 4a\):
\[ \cos 4a = \cos^2 (2a) – \sin^2 (2a) \]
\[ \cos 4a = 2\cos^2 (2a) – 1 \]
\[ \cos 4a = 1 – 2\sin^2 (2a) \]
Để sử dụng công thức thứ hai, ta cần tính \(\cos^2 (2a)\).
\[ \cos^2 (2a) = \left(\frac{7}{25}\right)^2 = \frac{49}{625} \]
Áp dụng công thức \(\cos 4a = 2\cos^2 (2a) – 1\):
\[ \cos 4a = 2 \left(\frac{49}{625}\right) – 1 = \frac{98}{625} – 1 = \frac{98 – 625}{625} = -\frac{527}{625} \]
Vậy, \(\cos 4a = -\frac{527}{625}\).
Bước 4: Tính \(\cos 6a\)
Tương tự như Bước 3, ta có thể xem \(6a\) như là góc nhân đôi của \(3a\), hoặc xem \(6a\) như là tổng của \(2a\) và \(4a\). Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là xem \(6a\) là góc nhân đôi của \(3a\). Nhưng ta chưa có \(\cos 3a\) hay \(\sin 3a\).
Một cách khác là xem \(6a\) là góc nhân ba của \(2a\), hoặc sử dụng công thức cộng góc.
Tuy nhiên, ta có thể tính \(\cos 6a\) dựa vào \(\cos 2a\) và \(\cos 4a\).
Chúng ta có thể dùng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc xem \(6a = 2a + 4a\) hoặc \(6a = 3 \times (2a)\).
Để sử dụng công thức góc nhân ba, ta cần tính \(\cos 3x\) hoặc \(\sin 3x\). Cô sẽ tính \(\cos 3a\) và \(\sin 3a\) trước để làm cơ sở cho \(\cos 6a\) nếu cần.
Nhưng để tính \(\cos 6a\) một cách trực tiếp hơn, ta có thể dùng công thức \(\cos(3x) = 4\cos^3 x – 3\cos x\). Ở đây, ta sẽ thay \(x\) bằng \(2a\).
Công thức là:
\[ \cos 6a = \cos(3 \cdot 2a) = 4\cos^3 (2a) – 3\cos (2a) \]
Ta đã có \(\cos 2a = \frac{7}{25}\).
\[ \cos^3 (2a) = \left(\frac{7}{25}\right)^3 = \frac{343}{15625} \]
Thay vào công thức:
\[ \cos 6a = 4 \left(\frac{343}{15625}\right) – 3 \left(\frac{7}{25}\right) \]
\[ \cos 6a = \frac{1372}{15625} – \frac{21}{25} \]
Để trừ hai phân số này, ta quy đồng mẫu số: \(15625 = 25 \times 625\).
\[ \cos 6a = \frac{1372}{15625} – \frac{21 \times 625}{25 \times 625} = \frac{1372}{15625} – \frac{13125}{15625} \]
\[ \cos 6a = \frac{1372 – 13125}{15625} = -\frac{11753}{15625} \]
Vậy, \(\cos 6a = -\frac{11753}{15625}\).
Bước 5: Tính \(\sin 3a\)
Chúng ta sử dụng công thức góc nhân ba cho sin:
\[ \sin 3a = 3\sin a – 4\sin^3 a \]
Chúng ta đã biết \(\sin a = \frac{3}{5}\).
\[ \sin^3 a = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125} \]
Thay vào công thức:
\[ \sin 3a = 3 \left(\frac{3}{5}\right) – 4 \left(\frac{27}{125}\right) \]
\[ \sin 3a = \frac{9}{5} – \frac{108}{125} \]
Quy đồng mẫu số: \(125 = 5 \times 25\).
\[ \sin 3a = \frac{9 \times 25}{5 \times 25} – \frac{108}{125} = \frac{225}{125} – \frac{108}{125} \]
\[ \sin 3a = \frac{225 – 108}{125} = \frac{117}{125} \]
Vậy, \(\sin 3a = \frac{117}{125}\).
Tổng kết kết quả:
* \(\cos 2a = \frac{7}{25}\)
* \(\cos 4a = -\frac{527}{625}\)
* \(\cos 6a = -\frac{11753}{15625}\)
* \(\sin 3a = \frac{117}{125}\)
Các em thấy đó, chỉ cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và công thức góc nhân đôi, nhân ba, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết bài toán này. Hãy nhớ luyện tập thường xuyên để các công thức này trở nên quen thuộc với mình nhé! Cô tin rằng các em sẽ làm tốt.
\(\begin{array}{l} \sin a = \frac{3}{5}\\ \Rightarrow \cos 2a = 1 – 2{\sin ^2}a = 1 – 2.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{7}{{25}}.\\ \cos 4a = 2{\cos ^2}2a – 1 = 2.{\left( {\frac{7}{{25}}} \right)^2} – 1 = – \frac{{527}}{{625}}.\\\cos 6a = 4{\cos ^3}2a – 3\cos 2a = \frac{{ – 11753}}{{15625}}\\ \sin 3a = 3\sin a – 4{\sin ^3}a = 3.\frac{3}{5} – 4.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^3} = \frac{{117}}{{125}}. \end{array}\)
Đáp án:
\(\begin{array}{l} {\mathop{\rm sina}\nolimits} = \dfrac{3}{5}\\ \cos 2a = 1 – 2{\sin ^2}a = \dfrac{7}{{25}}\\ \cos 4a = 2{\cos ^2}2a – 1 = \dfrac{{ – 527}}{{625}}\\ \cos 6a = 4{\cos ^3}2a – 3\cos 2a = \dfrac{{ – 11753}}{{15625}}\\ \sin 3a = 3{\mathop{\rm sina}\nolimits} – 4{\sin ^3}a = \dfrac{{117}}{{125}} \end{array}\)