Cho góc nhọn a, biết cosa – sina = 1/5. tính cota
(giải chi tiết)
(giải chi tiết)
Chúng ta bắt đầu nhé!
Cho góc nhọn
a
, biết cos
a
– sin
a
= 1/5. Tính cot
a
.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và một vài phép biến đổi đại số.
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình đã cho.
Chúng ta có phương trình: cos
a
– sin
a
= 1/5.
Bình phương hai vế của phương trình này, ta được:
(cos
a
– sin
a
)2 = (1/5)2
Áp dụng hằng đẳng thức (x – y)2 = x2 – 2xy + y2, ta có:
cos2
a
– 2sin
a
cos
a
+ sin2
a
= 1/25
Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác cơ bản.
Chúng ta biết rằng, với mọi góc
a
, ta có công thức lượng giác cơ bản: sin2
a
+ cos2
a
= 1.
Áp dụng công thức này vào phương trình ở Bước 1:
(cos2
a
+ sin2
a
) – 2sin
a
cos
a
= 1/25
1 – 2sin
a
cos
a
= 1/25
Bước 3: Tìm giá trị của 2sin
a
cos
a
.
Từ phương trình ở Bước 2, ta suy ra:
2sin
a
cos
a
= 1 – 1/25
2sin
a
cos
a
= 24/25
Bước 4: Biến đổi phương trình ban đầu để tìm mối liên hệ với cot
a
.
Chúng ta biết rằng cot
a
= cos
a
/ sin
a
.
Để xuất hiện cot
a
trong phương trình ban đầu, chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình cos
a
– sin
a
= 1/5 cho sin
a
.
Tuy nhiên, trước khi chia, chúng ta cần đảm bảo rằng sin
a
khác 0. Vì
a
là góc nhọn, nên sin
a
> 0. Do đó, ta có thể chia.
Chia cả hai vế của phương trình cos
a
– sin
a
= 1/5 cho sin
a
:
(cos
a
/ sin
a
) – (sin
a
/ sin
a
) = (1/5) / sin
a
cot
a
– 1 = 1 / (5sin
a
)
Bước 5: Biến đổi phương trình ban đầu một cách khác để liên hệ với cot
a
.
Chúng ta có thể làm như sau: Chia cả hai vế của phương trình cos
a
– sin
a
= 1/5 cho cos
a
.
Vì
a
là góc nhọn, nên cos
a
> 0.
(cos
a
/ cos
a
) – (sin
a
/ cos
a
) = (1/5) / cos
a
1 – tan
a
= 1 / (5cos
a
)
Vì tan
a
= 1/cot
a
, nên:
1 – 1/cot
a
= 1 / (5cos
a
)
Cách tiếp cận hiệu quả hơn là sử dụng kết quả ở Bước 3.
Ta có: cos
a
– sin
a
= 1/5.
Và 2sin
a
cos
a
= 24/25.
Xét biểu thức (cos
a
+ sin
a
)2:
(cos
a
+ sin
a
)2 = cos2
a
+ 2sin
a
cos
a
+ sin2
a
= (cos2
a
+ sin2
a
) + 2sin
a
cos
a
= 1 + 2sin
a
cos
a
= 1 + 24/25
= 49/25
Suy ra, cos
a
+ sin
a
= ±√(49/25) = ±7/5.
Vì
a
là góc nhọn, nên sin
a
> 0 và cos
a
> 0. Do đó, cos
a
+ sin
a
phải là số dương.
Vậy, cos
a
+ sin
a
= 7/5.
Bước 6: Giải hệ phương trình để tìm cos
a
và sin
a
.
Chúng ta có hệ phương trình:
1) cos
a
– sin
a
= 1/5
2) cos
a
+ sin
a
= 7/5
Cộng vế theo vế hai phương trình trên:
(cos
a
– sin
a
) + (cos
a
+ sin
a
) = 1/5 + 7/5
2cos
a
= 8/5
cos
a
= (8/5) / 2 = 4/5
Trừ vế theo vế phương trình (2) cho phương trình (1):
(cos
a
+ sin
a
) – (cos
a
– sin
a
) = 7/5 – 1/5
2sin
a
= 6/5
sin
a
= (6/5) / 2 = 3/5
Bước 7: Tính cot
a
.
Bây giờ chúng ta đã có giá trị của cos
a
và sin
a
, ta dễ dàng tính được cot
a
.
cot
a
= cos
a
/ sin
a
cot
a
= (4/5) / (3/5)
cot
a
= 4/3
Vậy, giá trị của cot
a
là 4/3.
Lưu ý: Các em có thể kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cos
a
= 4/5 và sin
a
= 3/5 vào phương trình ban đầu:
cos
a
– sin
a
= 4/5 – 3/5 = 1/5. Điều này khớp với đề bài cho.
Bài tập này giúp chúng ta ôn lại các công thức lượng giác cơ bản và rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số. Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé.
Giải thích các bước giải:
\(cosa – sina = 1/5\)
\(=>(cosa – sina)^2 = 1/25\)
\(=>1-2sinacosa = 1/25\)
\(=>2sinacosa = 24/25\)
Mà \(cosa – sina = 1/5=>cosa=sina+1/5\)
\(=>2sina(sina+1/5) = 24/25\)
\(=>2/5sina+2sin^2a-24/25=0\)
\(=>\)\(\left[ \begin{array}{l}\text{sin }a=\dfrac35\\\text{sin }a=-\dfrac45\end{array} \right.\) \(=>\)\(\left[ \begin{array}{l}\text{cos }a=\dfrac45\\\text{cos }a=-\dfrac35\end{array} \right.\)
\(=>cota=4/5. 5/3=4/3.\)