Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập lại kiến thức về đường tròn đi qua hai điểm phân biệt.
Chúng ta có bài toán sau đây: Cho hai điểm A và B phân biệt. Phát biểu nào sau đây là đúng :
A. Có vô số đường tròn đi qua hai hai điểm A và B với tâm cách đều A và B
B. Ko có đường tròn nào đi qua A và B
C. Có duy nhất một đường tròn đi qua A,Blà đường tròn đường kính AB
D. Có vô số đường tròn đi qua hai điểm A và B với tâm nằm trên đường thẳng AB

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phát biểu một dựa trên các kiến thức về đường tròn mà chúng ta đã học.

Bước 1: Phân tích phát biểu B: “Ko có đường tròn nào đi qua A và B”
Chúng ta biết rằng, một đường tròn được xác định bởi tâm và bán kính.
Nếu có một đường tròn đi qua hai điểm A và B, thì khoảng cách từ tâm O đến A bằng khoảng cách từ tâm O đến B (đều bằng bán kính).
Điều này có nghĩa là tâm O phải cách đều hai điểm A và B.
Theo kiến thức về tập hợp các điểm cách đều hai điểm phân biệt, chúng ta biết rằng đó là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vì đường trung trực của đoạn thẳng AB là một đường thẳng, và trên đường thẳng này có vô số điểm, nên sẽ có vô số tâm O có thể tạo ra đường tròn đi qua A và B.
Do đó, phát biểu B là sai.

Bước 2: Phân tích phát biểu C: “Có duy nhất một đường tròn đi qua A,Blà đường tròn đường kính AB”
Nếu đường tròn có đường kính là AB, thì tâm của đường tròn chính là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Tâm này (trung điểm M của AB) cách A một khoảng bằng \(MA = MB = \frac{1}{2}AB\). Đây chính là bán kính.
Do đó, đường tròn có tâm là trung điểm của AB và bán kính bằng \(\frac{1}{2}AB\) chắc chắn đi qua A và B.
Tuy nhiên, liệu có phải “duy nhất một” đường tròn như vậy không? Như phân tích ở Bước 1, chúng ta đã thấy có vô số điểm có thể làm tâm của đường tròn đi qua A và B, miễn là điểm đó nằm trên đường trung trực của AB.
Chỉ khi ta xét thêm điều kiện tâm nằm trên đường thẳng AB thì mới có duy nhất 1 tâm (là trung điểm của AB). Nhưng ở đây, phát biểu C chỉ nói về đường tròn đường kính AB, mà không đề cập đến tập hợp các tâm.
Do đó, phát biểu C chưa hoàn toàn bao quát hết các trường hợp.

Bước 3: Phân tích phát biểu D: “Có vô số đường tròn đi qua hai điểm A và B với tâm nằm trên đường thẳng AB”
Để một đường tròn đi qua A và B, tâm O của nó phải cách đều A và B. Nghĩa là \(OA = OB\) (bán kính).
Nếu tâm O nằm trên đường thẳng AB, thì có hai khả năng:

• O trùng với A: Khi đó, \(OB = AB\). Bán kính là \(AB\). Đường tròn này chỉ đi qua A (tâm) và B. Nếu A là tâm, khoảng cách tới B là \(AB\). Đường tròn này đi qua A và B. Tuy nhiên, một đường tròn chỉ có 1 tâm, và tâm thì không nằm trên đường tròn đó. Nếu tâm là A, bán kính là \(AB\), thì đường tròn này đi qua B. Còn điểm A có nằm trên đường tròn không? Khoảng cách từ tâm A đến A là 0, mà bán kính là \(AB\) (khác 0). Vậy đường tròn này chỉ đi qua B.
• O trùng với B: Tương tự, đường tròn này chỉ đi qua A.
• O là trung điểm của AB: Khi đó, \(OA = OB = \frac{1}{2}AB\). Đây chính là đường tròn đường kính AB.
• O nằm trên đường thẳng AB nhưng không phải trung điểm và không trùng A, B: Giả sử O nằm trên tia AB và cách B một khoảng \(d\). Nếu O nằm ngoài đoạn AB, ví dụ B nằm giữa A và O, thì \(OA = OB + AB\). Để \(OA=OB\), điều này vô lý. Tương tự, nếu A nằm giữa O và B.

Như vậy, nếu tâm O nằm trên đường thẳng AB, thì chỉ có duy nhất trường hợp O là trung điểm của AB thì đường tròn mới đi qua cả A và B. Các trường hợp khác tâm nằm trên đường thẳng AB sẽ không tạo ra đường tròn đi qua cả hai điểm A và B (theo đúng định nghĩa tâm và bán kính).
Do đó, phát biểu D là sai.

Bước 4: Phân tích phát biểu A: “Có vô số đường tròn đi qua hai hai điểm A và B với tâm cách đều A và B”
Như chúng ta đã phân tích ở Bước 1, để một đường tròn đi qua hai điểm A và B, tâm của nó phải là một điểm cách đều A và B.
Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai điểm phân biệt A và B chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Đường trung trực của đoạn thẳng AB là một đường thẳng.
Trên đường thẳng này có vô số điểm.
Mỗi điểm trên đường trung trực của AB có thể được chọn làm tâm O của một đường tròn đi qua A và B. Khoảng cách từ O đến A (hoặc đến B) sẽ là bán kính của đường tròn đó.
Ví dụ, lấy một điểm O bất kỳ trên đường trung trực của AB. Ta có \(OA = OB\). Gọi bán kính \(R = OA = OB\). Đường tròn tâm O bán kính R này sẽ đi qua cả A và B.
Vì có vô số điểm trên đường trung trực của AB, nên có vô số đường tròn đi qua hai điểm A và B với tâm cách đều A và B.
Do đó, phát biểu A là đúng.

Kết luận:
Sau khi phân tích từng phát biểu, chúng ta thấy chỉ có phát biểu A là đúng.
Đáp án đúng là A.