Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về tính liên tục của hàm số. Chúng ta sẽ bắt đầu với một ví dụ cụ thể từ sách giáo khoa nhé.

Bài toán yêu cầu chúng ta xác định khoảng mà hàm số \(f(x) = \frac{2x+1}{x-1}\) liên tục.

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa về tính liên tục của hàm số tại một điểm và trên một khoảng.

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số.

Một hàm số chỉ có thể liên tục trên tập xác định của nó. Đối với hàm số \(f(x) = \frac{2x+1}{x-1}\), đây là một hàm phân thức. Hàm phân thức sẽ xác định khi mẫu số khác 0.

Vậy, ta có:
\(x – 1 \neq 0\)
\(x \neq 1\)

Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Điều này có nghĩa là hàm số xác định với mọi số thực trừ số 1.

Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số.

Hàm số \(f(x) = \frac{2x+1}{x-1}\) là một hàm phân thức. Theo kiến thức đã học, các hàm phân thức là các hàm số sơ cấp. Các hàm số sơ cấp thì liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Tập xác định của chúng ta là \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Tập này có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của các khoảng mở là \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \).

Do đó, hàm số \(f(x)\) liên tục trên khoảng \( (-\infty, 1) \) và liên tục trên khoảng \( (1, +\infty) \).

Bước 3: Kết luận.

Vậy, hàm số \(f(x) = \frac{2x+1}{x-1}\) liên tục trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \). Chúng ta có thể viết tập hợp các khoảng mà hàm số liên tục là \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \).

Các em đã hiểu chưa nào? Nếu có câu hỏi, đừng ngần ngại hỏi nhé!