Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán quen thuộc về hàm số bậc nhất. Bài toán này sẽ giúp các em ôn lại cách vẽ đồ thị hàm số, tìm giao điểm của hai đường thẳng và tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Chúng ta bắt đầu với câu a nhé!

a, Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ mà 2 hàm số đã cho

Để vẽ đồ thị hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, chúng ta cần xác định hai điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đó.

– Đối với hàm số y = 2x:
Đây là hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b với a = 2 và b = 0. Đồ thị hàm số này là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0).
Ta chọn thêm một điểm nữa. Ví dụ, cho x = 1, ta có y = 2 * 1 = 2. Vậy ta có điểm A(1; 2).
Vậy, đường thẳng y = 2x đi qua hai điểm O(0;0) và A(1;2).

– Đối với hàm số y = -3x + 5:
Đây là hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b với a = -3 và b = 5.
Ta chọn hai điểm bất kỳ thuộc đường thẳng này:
+ Cho x = 0, ta có y = -3 * 0 + 5 = 5. Vậy ta có điểm B(0; 5).
+ Cho y = 0, ta có -3x + 5 = 0, suy ra -3x = -5, hay x = 5/3. Vậy ta có điểm C(5/3; 0).
Vậy, đường thẳng y = -3x + 5 đi qua hai điểm B(0; 5) và C(5/3; 0).

Bây giờ, các em hãy lấy giấy nháp, thước kẻ và compa (nếu cần để vẽ trục tọa độ) để cùng cô vẽ nhé.
Chúng ta sẽ vẽ trục Ox và trục Oy vuông góc với nhau tại gốc tọa độ O. Đánh dấu các đơn vị trên mỗi trục.
Sau đó, ta lần lượt biểu diễn các điểm O(0;0), A(1;2), B(0;5), C(5/3; 0) lên hệ trục tọa độ.
Cuối cùng, dùng thước kẻ nối các cặp điểm tương ứng để được hai đường thẳng. Đường thẳng đi qua O và A là đồ thị của hàm số y = 2x. Đường thẳng đi qua B và C là đồ thị của hàm số y = -3x + 5.

Chúng ta sang câu b nhé!

b, Tìm tọa độ giao điểm M của 2 đường thẳng trên

Để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình gồm hai phương trình của hai đường thẳng đó.
Hai đường thẳng đã cho có phương trình:
y = 2x (1)
y = -3x + 5 (2)

Vì vế trái của hai phương trình đều là y, nên ta cho vế phải của chúng bằng nhau:
2x = -3x + 5

Bây giờ, ta giải phương trình này để tìm x:
2x + 3x = 5
5x = 5
x = 1

Sau khi tìm được x, ta thay giá trị của x vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm y. Thay x = 1 vào phương trình (1):
y = 2 * 1
y = 2

Vậy, tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng là M(1; 2).

Chúng ta cùng tiếp tục với câu c.

c, Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng y= -3x+5

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, chúng ta có thể sử dụng công thức hoặc tìm chiều cao của tam giác vuông. Trong trường hợp này, cô sẽ hướng dẫn các em cách tìm chiều cao của một tam giác vuông.

Đường thẳng y = -3x + 5 cắt trục Oy tại điểm B(0; 5) và cắt trục Ox tại điểm C(5/3; 0).
Gốc tọa độ là O(0;0).
Ta thấy rằng tam giác OBC là một tam giác vuông tại O (vì trục Ox và trục Oy vuông góc với nhau).
Khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng y = -3x + 5 chính là chiều cao hạ từ đỉnh O xuống cạnh huyền BC của tam giác vuông OBC.

Ta có độ dài hai cạnh góc vuông là:
OB = 5 (độ dài đoạn từ O đến B trên trục Oy)
OC = 5/3 (độ dài đoạn từ O đến C trên trục Ox)

Diện tích của tam giác vuông OBC là:
Diện tích = (1/2) OB OC
Diện tích = (1/2) 5 (5/3)
Diện tích = 25/6

Độ dài cạnh huyền BC ta có thể tính bằng định lý Pitago:
BC² = OB² + OC²
BC² = 5² + (5/3)²
BC² = 25 + 25/9
BC² = (225 + 25) / 9
BC² = 250/9
BC = sqrt(250/9)
BC = (5 * sqrt(10)) / 3

Gọi h là khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng y = -3x + 5 (chính là chiều cao hạ từ O xuống BC).
Ta cũng có công thức tính diện tích tam giác OBC theo cạnh huyền BC và chiều cao h:
Diện tích = (1/2) BC h

Từ đó, ta có:
(1/2) BC h = 25/6
h = (25/6) / ((1/2) * BC)
h = (25/6) * (2 / BC)
h = 25 / (3 * BC)

Thay giá trị của BC vào:
h = 25 / (3 (5 sqrt(10)) / 3)
h = 25 / (5 * sqrt(10))
h = 5 / sqrt(10)

Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với sqrt(10):
h = (5 sqrt(10)) / (sqrt(10) sqrt(10))
h = (5 * sqrt(10)) / 10
h = sqrt(10) / 2

Vậy, khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng y= -3x+5 là sqrt(10)/2.

Các em về nhà luyện tập thêm các dạng bài tương tự để nắm vững kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!