Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu và giải quyết bài tập liên quan đến hàm số bậc hai có dạng \(\(y = ax^2\)\) mà chúng ta đã học trong chương trình Toán lớp 9. Đây là một dạng bài tập rất cơ bản và quan trọng, giúp các em nắm vững kiến thức về Parabol.

Chúng ta có hàm số \(\(y = \frac{1}{2}x^2\)\) (P). Hãy cùng xét các yêu cầu của bài toán nhé!

A) Hàm số (P) đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào?

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(\(y = ax^2\)\), chúng ta cần dựa vào dấu của hệ số \(\(a\)\).

1. Xác định hệ số \(\(a\)\):
Trong hàm số \(\(y = \frac{1}{2}x^2\)\), hệ số \(\(a\)\) là \(\(\frac{1}{2}\)\).

2. So sánh hệ số \(\(a\)\) với \(\(0\)\):
Ta thấy \(\(a = \frac{1}{2} > 0\)\).

3. Kết luận về tính đồng biến, nghịch biến:
Với hàm số \(\(y = ax^2\)\), nếu \(\(a > 0\)\) thì:

• Hàm số nghịch biến khi \(\(x < 0\)\) (tức là khi \(\(x\)\) tăng thì \(\(y\)\) giảm).
• Hàm số đồng biến khi \(\(x > 0\)\) (tức là khi \(\(x\)\) tăng thì \(\(y\)\) cũng tăng).

Vậy, đối với hàm số \(\(y = \frac{1}{2}x^2\)\):

• Hàm số nghịch biến khi \(\(x < 0\)\).
• Hàm số đồng biến khi \(\(x > 0\)\).

B) Vẽ đồ thị hàm số (P)

Để vẽ đồ thị hàm số \(\(y = \frac{1}{2}x^2\)\), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Nhận xét chung về đồ thị.
Đồ thị của hàm số \(\(y = \frac{1}{2}x^2\)\) là một Parabol. Vì hệ số \(\(a = \frac{1}{2} > 0\)\) nên Parabol này có các đặc điểm sau:

• Đỉnh là gốc tọa độ \(\(O(0;0)\)\).
• Bề lõm quay lên trên.
• Nhận trục \(\(Oy\)\) làm trục đối xứng.

Bước 2: Lập bảng giá trị.
Chúng ta cần chọn ít nhất 5 điểm, bao gồm gốc tọa độ và các giá trị của \(\(x\)\) đối xứng qua \(\(0\)\) để tính các giá trị \(\(y\)\) tương ứng. Nên chọn các giá trị \(\(x\)\) sao cho \(\(y\)\) là số nguyên hoặc số thập phân dễ vẽ để việc xác định điểm trên mặt phẳng tọa độ được thuận tiện.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\
\hline
y = \frac{1}{2}x^2 & \frac{1}{2}(-4)^2 = 8 & \frac{1}{2}(-2)^2 = 2 & \frac{1}{2}(0)^2 = 0 & \frac{1}{2}(2)^2 = 2 & \frac{1}{2}(4)^2 = 8 \\
\hline
\end{array}
\]
Vậy, ta có các cặp điểm tọa độ mà đồ thị hàm số đi qua là: \(\(A(-4; 8)\)\), \(\(B(-2; 2)\)\), \(\(O(0; 0)\)\), \(\(C(2; 2)\)\), \(\(D(4; 8)\)\).

Bước 3: Vẽ hệ trục tọa độ \(\(Oxy\)\).
Vẽ hai trục số \(\(Ox\)\) (trục hoành) và \(\(Oy\)\) (trục tung) vuông góc với nhau tại gốc \(\(O\)\). Các em nhớ đánh dấu mũi tên ở cuối mỗi trục và ghi rõ \(\(x\)\) và \(\(y\)\) nhé!

Bước 4: Biểu diễn các điểm đã tính được trên hệ trục tọa độ.
Đánh dấu lần lượt các điểm \(\(A(-4; 8)\)\), \(\(B(-2; 2)\)\), \(\(O(0; 0)\)\), \(\(C(2; 2)\)\), \(\(D(4; 8)\)\) lên mặt phẳng tọa độ mà các em vừa vẽ.

Bước 5: Vẽ đường cong Parabol.
Dùng tay vẽ một đường cong trơn, đi qua tất cả các điểm đã xác định.
Các em lưu ý:

• Đường cong phải bắt đầu từ điểm có hoành độ âm nhất, đi qua gốc tọa độ \(\(O(0;0)\)\) và kết thúc ở điểm có hoành độ dương nhất.
• Đường cong phải đối xứng qua trục \(\(Oy\)\).
• Bề lõm của Parabol phải quay lên trên.

(Ở đây thầy không thể trực tiếp vẽ hình cho các em xem được, nhưng các em hãy tự vẽ theo các bước trên nhé. Đảm bảo các em sẽ có một đồ thị Parabol rất chính xác!)

Hy vọng với phần hướng dẫn chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách xét tính đồng biến, nghịch biến và cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai dạng \(\(y = ax^2\)\). Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé! Chúc các em học tốt!