Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo BD lấy điểm M,N sao cho BM=1/3BD.a,CM ta…
Dạng bài: Hình bình hành và các điểm đặc biệt.
Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm M, N sao cho BM = 1/3 BD.
a, Chứng minh tam giác AMB = tam giác CND.
b, Gọi AC giao BD tại O. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.
c, AM cắt BC tại I. Chứng minh AM = 2MI.
d, CN cắt AD tại K. Chứng minh I và K đối xứng nhau qua O.
—
Phân tích đề bài và gợi ý phương pháp:
Trước khi đi vào giải chi tiết, thầy sẽ cùng các em phân tích từng ý và gợi ý cách tiếp cận nhé.
* Ý a: Để chứng minh hai tam giác bằng nhau, chúng ta cần tìm các yếu tố bằng nhau về cạnh hoặc góc. Với tam giác AMB và CND, chúng ta có những gì? Hình bình hành ABCD cho ta những cặp cạnh song song và bằng nhau. Đường chéo BD cũng có vai trò quan trọng.
* Ý b: Tứ giác AMCN là hình bình hành. Nhớ lại các dấu hiệu nhận biết hình bình hành trong chương trình Toán 8. Chúng ta có thể chứng minh hai cạnh đối song song và bằng nhau, hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
* Ý c: Chứng minh AM = 2MI. Đây là một bài toán về tỉ lệ đoạn thẳng. Có thể chúng ta sẽ sử dụng định lý Thales hoặc tính chất đường trung bình trong tam giác.
* Ý d: Chứng minh I và K đối xứng nhau qua O. Điều này có nghĩa là O là trung điểm của đoạn thẳng IK. Để chứng minh điều này, ta có thể chứng minh tứ giác AIKC là hình bình hành, hoặc sử dụng tính chất của tâm đối xứng.
—
Giải chi tiết:
a, Chứng minh tam giác AMB = tam giác CND.
* Bước 1: Xét hình bình hành ABCD.
Ta có:
AB song song với CD (theo tính chất hình bình hành).
AB = CD (theo tính chất hình bình hành).
* Bước 2: Xét đường chéo BD.
Ta có: BM = 1/3 BD.
Vì N cũng nằm trên BD và giả sử N nằm giữa M và D hoặc M nằm giữa B và N (ta sẽ làm rõ vị trí này sau nếu cần, nhưng cách chứng minh thường là tương đương).
Nếu M, N nằm trên đoạn BD, ta có thể suy luận về vị trí của N dựa trên hình vẽ. Tuy nhiên, bài toán cho BM = 1/3 BD mà không nói rõ vị trí của N, nên ta cần xem xét N sao cho có thể chứng minh được.
Hãy giả sử N là điểm trên BD sao cho DN = 1/3 BD hoặc CN = 1/3 BD.
Đề bài chỉ cho BM = 1/3 BD. Để hai tam giác bằng nhau, ta cần có thêm yếu tố liên quan đến DN hoặc CN.
Xem lại đề bài, có thể N đã được định nghĩa ngầm. Nếu N cũng thoả mãn điều kiện tương tự như M thì bài toán mới có thể giải được.
Tuy nhiên, nếu ta đọc kỹ ý b, AMCN là hình bình hành. Điều này ngụ ý rằng M và N có vị trí đối xứng nhau qua O (trung điểm của AC và BD). Nếu O là trung điểm của BD, thì BO = OD = 1/2 BD.
Mà BM = 1/3 BD. Vậy M nằm giữa B và O.
Nếu AMCN là hình bình hành, O cũng là trung điểm của MN. Vậy MO = ON.
Vì BO = 1/2 BD và BM = 1/3 BD, suy ra OM = BO – BM = 1/2 BD – 1/3 BD = (3-2)/6 BD = 1/6 BD.
Để O là trung điểm của MN, ta cần ON = OM = 1/6 BD.
Vậy BN = BO + ON = 1/2 BD + 1/6 BD = 4/6 BD = 2/3 BD.
DN = BD – BN = BD – 2/3 BD = 1/3 BD.
Như vậy, để ý a và ý b khớp nhau, ta suy ra N là điểm trên BD sao cho DN = 1/3 BD.
Bây giờ, ta quay lại chứng minh ý a với giả định DN = 1/3 BD (do N là điểm trên BD thỏa mãn điều kiện để ý b, c, d được chứng minh).
Ta có: BM = 1/3 BD và DN = 1/3 BD.
Suy ra BM = DN.
* Bước 3: Xét hai tam giác AMB và CND.
Ta có:
AB = CD (cạnh đối hình bình hành).
BM = DN (chứng minh trên).
Góc ABM = Góc CDN (hai góc so le trong của AB // CD với BD).
* Bước 4: Kết luận.
Theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c), ta có:
tam giác AMB = tam giác CND.
b, Gọi AC giao BD tại O. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.
* Bước 1: Tính chất hình bình hành ABCD.
O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Do đó, O là trung điểm của AC và O là trung điểm của BD.
Suy ra AO = OC và BO = OD.
* Bước 2: Sử dụng giả thiết BM = 1/3 BD.
Ta có BO = 1/2 BD.
Suy ra OM = BO – BM = 1/2 BD – 1/3 BD = 1/6 BD.
* Bước 3: Suy luận về vị trí của N.
Để AMCN là hình bình hành, hai đường chéo MN và AC phải cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. O là trung điểm của AC. Vậy O cũng phải là trung điểm của MN.
Suy ra MO = ON.
Từ đó, ta có ON = 1/6 BD.
Suy ra BN = BO + ON = 1/2 BD + 1/6 BD = 2/3 BD.
Và DN = BD – BN = BD – 2/3 BD = 1/3 BD.
(Điều này khớp với suy luận ở ý a).
* Bước 4: Xét hai tam giác OAM và OCN.
Ta có:
AO = OC (O là trung điểm AC).
Góc AOM = Góc CON (hai góc đối đỉnh).
OM = ON (chứng minh trên).
* Bước 5: Kết luận.
Theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c), ta có:
tam giác OAM = tam giác OCN.
Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng).
Và góc OAM = góc OCN (hai góc tương ứng).
Từ góc OAM = góc OCN, suy ra AM song song với CN (vì hai góc này ở vị trí so le trong với đường thẳng AC cắt AM và CN).
* Bước 6: Chứng minh AMCN là hình bình hành.
Ta đã chứng minh được AM song song với CN và AM = CN (do tam giác OAM = tam giác OCN).
Do đó, tứ giác AMCN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết: có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
c, AM cắt BC tại I. Chứng minh AM = 2MI.
* Bước 1: Xét tam giác BIC.
Ta có AM cắt BC tại I. Do đó, I là một điểm trên BC.
Để chứng minh tỉ lệ AM = 2MI, ta có thể nghĩ đến việc sử dụng định lý Thales hoặc tính chất đường trung bình.
Xét tam giác BDI. Ta có M là điểm trên BD và I là điểm trên BC.
Ta cần tìm một tam giác có đường thẳng song song với một cạnh và cắt hai cạnh kia.
* Bước 2: Sử dụng tính chất hình bình hành ABCD.
BC song song với AD.
AB song song với DC.
* Bước 3: Xét tam giác ADM.
Ta có BC song song với AD. Vì I thuộc BC và M thuộc AM, ta có thể suy nghĩ về mối liên hệ giữa các đoạn thẳng.
* Bước 4: Sử dụng tam giác IAM và tam giác IBC.
Không trực tiếp.
* Bước 5: Xét tam giác ADM và tam giác IBM.
Ta có:
Góc DAM = Góc BIM (hai góc so le trong của AD // BC với đường thẳng AM).
Góc ADM = Góc IBM (hai góc so le trong của AD // BC với đường thẳng BD).
Không dùng được.
* Bước 6: Xét tam giác ABM và tam giác ICD.
Không dùng được.
* Bước 7: Hãy sử dụng tam giác ADM và tam giác IBM.
Ta có AD // BC.
Xét tam giác ADM. Đường thẳng BI cắt AD tại D, AM tại M, BD tại B.
Hãy xét tam giác BDI.
Ta có M là điểm trên BD.
Nếu ta chứng minh được MI song song với DC, thì MI song song với AB.
* Bước 8: Quay lại ý a và b.
Ta có AM = CN và AM // CN.
Ta có BC // AD.
* Bước 9: Xét tam giác ADM và tam giác IBM.
Ta có AD // BI (vì BC // AD).
Xét tam giác ADM và đường thẳng BI cắt AD tại D, AM tại M, BD tại B.
Không dùng được.
* Bước 10: Xét tam giác AB I và tam giác MID.
Không dùng được.
* Bước 11: Xét tam giác ADM và tam giác IBM.
Ta có AD // BC.
Xét tam giác ADM. M là điểm trên BD. I là giao điểm của AM và BC.
Hãy xét tam giác AB I.
* Bước 12: Xét tam giác BDM và tam giác CAI.
Không dùng được.
* Bước 13: Hãy sử dụng tam giác có đường trung tuyến hoặc đường song song.
Xét tam giác ADM.
Ta có AD // BC. I thuộc BC.
Hãy xét tam giác BDI. M là điểm trên BD.
Ta có AD // BC => AD // BI.
Xét tam giác ADM và tam giác IBM.
Góc DAM = Góc BIM (so le trong).
Góc ADM = Góc IBM (so le trong).
AB = CD.
* Bước 14: Xét tam giác MIB và tam giác MAD.
Ta có BC // AD. Suy ra BI // AD.
Xét tam giác ADM. Đường thẳng BI cắt AM tại I, BD tại B.
Ta có:
Góc BMI = Góc AMD (hai góc đối đỉnh).
Góc IBM = Góc ADM (hai góc so le trong của BI // AD với BD).
Góc IMB = Góc DMA.
Góc MIB = Góc MAD (so le trong của BC // AD với AM).
Góc MBI = Góc MDA (so le trong của BC // AD với BD).
Xét tam giác MIB và tam giác MAD:
Ta có: AD // BC nên AD // BI.
Góc IBM = Góc ADM (so le trong).
Góc IMB = Góc DMA (đối đỉnh).
Do đó, tam giác MIB đồng dạng với tam giác MAD theo trường hợp góc – góc (g.g).
Từ tam giác MIB đồng dạng với tam giác MAD, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng:
\(\frac{MI}{MA} = \frac{MB}{MD} = \frac{IB}{AD}\)
Ta đã có BM = 1/3 BD.
Suy ra MD = BD – BM = BD – 1/3 BD = 2/3 BD.
Vậy \(\frac{MB}{MD} = \frac{\frac{1}{3} BD}{\frac{2}{3} BD} = \frac{1}{2}\).
Do đó, \(\frac{MI}{MA} = \frac{1}{2}\).
Suy ra MA = 2 MI.
Điều này có nghĩa là AM = 2MI.
d, CN cắt AD tại K. Chứng minh I và K đối xứng nhau qua O.
* Bước 1: Để chứng minh I và K đối xứng nhau qua O, ta cần chứng minh O là trung điểm của IK. Điều này có nghĩa là IO = OK và I, O, K thẳng hàng.
Ta đã biết O là trung điểm của AC và BD.
* Bước 2: Xét sự thẳng hàng của I, O, K.
I nằm trên AM và BC. K nằm trên CN và AD.
Ta cần chứng minh I, O, K thẳng hàng.
Vì O là trung điểm của AC và BD, và AMCN là hình bình hành, O cũng là trung điểm của MN.
Ta cần xem xét vị trí của I trên AM và K trên CN.
* Bước 3: Sử dụng tính chất đối xứng của hình bình hành.
Vì AMCN là hình bình hành, tâm đối xứng của nó là O.
Điều này có nghĩa là nếu ta lấy một điểm P bất kỳ thuộc AMCN, thì ảnh của P qua phép đối xứng tâm O sẽ cũng thuộc AMCN.
* Bước 4: Xét tam giác ADM và tam giác KCM.
Ta có AD // BC.
Ta có CN cắt AD tại K.
Xét tam giác KCN và tam giác KAD.
Góc KCN = Góc KAD (so le trong của CN // AM với AD).
* Bước 5: Xét tam giác ADK và tam giác CBK.
Không dùng được.
* Bước 6: Hãy xem xét tỉ lệ đoạn thẳng liên quan đến O.
Ta đã chứng minh AM = 2MI. Suy ra I chia đoạn AM theo tỉ lệ 1:2 (MI:AM = 1:2).
Tức là IM = 1/3 AM. Vậy AI = 2/3 AM.
* Bước 7: Xét tam giác ADM và tam giác KCM.
Ta có AD // BC.
Xét tam giác ADM. K là điểm trên AD. CN cắt AD tại K.
* Bước 8: Xét tam giác KCN và tam giác IAM.
Ta có AD // BC.
Xét tam giác ADM. K là điểm trên AD. CN cắt AD tại K.
* Bước 9: Xét tam giác ACN và tam giác IK C.
Không dùng được.
* Bước 10: Hãy chứng minh K cũng chia đoạn CN theo tỉ lệ tương tự như I chia AM.
Ta có ABCD là hình bình hành.
CN cắt AD tại K.
Xét tam giác CD N.
Ta có DN = 1/3 BD.
Xét tam giác DCN. AM cắt BC tại I.
* Bước 11: Xét tam giác ADK và tam giác CMK.
Ta có AD // BC.
Xét tam giác KAD và tam giác KCN.
Góc KDA = Góc KCN (so le trong của AD // BC với CN).
Góc KAD = Góc KCN (so le trong của AD // BC với CN).
Góc AKD = Góc CKN (đối đỉnh).
Xét tam giác KAD và tam giác KCN.
AD // BC.
Ta có CN cắt AD tại K.
Xét tam giác ADM và tam giác CMK.
Không dùng được.
* Bước 12: Hãy sử dụng tính chất đối xứng tâm O một cách rõ ràng.
Ta đã chứng minh AM // CN.
Ta đã chứng minh AM = CN.
Tứ giác AMCN là hình bình hành. O là tâm đối xứng của hình bình hành AMCN.
Do đó, phép đối xứng tâm O biến A thành C, biến M thành N.
Do đó, phép đối xứng tâm O biến đường thẳng AM thành đường thẳng CN.
* Điểm I là giao điểm của AM và BC.
* Điểm K là giao điểm của CN và AD.
Ta cần chứng minh I và K đối xứng nhau qua O.
Tức là, phép đối xứng tâm O biến I thành K.
* Nếu I thuộc AM, thì ảnh của I qua phép đối xứng tâm O phải nằm trên ảnh của AM, tức là trên CN.
* Điểm I nằm trên BC. Ảnh của I qua phép đối xứng tâm O phải nằm trên ảnh của BC.
Ảnh của BC qua phép đối xứng tâm O là đường thẳng đi qua ảnh của B và ảnh của C.
Ảnh của C là A.
Ảnh của B qua phép đối xứng tâm O (trung điểm BD) là D.
Vậy ảnh của BC qua phép đối xứng tâm O là đường thẳng AD.
Vì I thuộc AM, ảnh của I qua phép đối xứng tâm O thuộc CN.
Vì I thuộc BC, ảnh của I qua phép đối xứng tâm O thuộc AD.
Vậy ảnh của I qua phép đối xứng tâm O là giao điểm của CN và AD.
Mà giao điểm của CN và AD chính là K.
Do đó, phép đối xứng tâm O biến I thành K.
Điều này có nghĩa là I và K đối xứng nhau qua O.
Hay O là trung điểm của IK.
Chứng minh chi tiết cho ý d:
Ta đã chứng minh AMCN là hình bình hành. O là tâm đối xứng của hình bình hành AMCN (vì O là trung điểm của AC và MN).
Do đó, phép đối xứng tâm O biến A thành C, biến M thành N, biến đường thẳng AM thành đường thẳng CN.
Xét điểm I.
I là giao điểm của AM và BC.
Vì I thuộc AM, ảnh của I qua phép đối xứng tâm O, gọi là I’, sẽ thuộc CN (ảnh của AM).
Bây giờ ta xét xem I’ có thuộc đường thẳng nào khác không.
Điểm I thuộc BC.
Xét phép đối xứng tâm O trên đường thẳng BC.
O là trung điểm của BD. Do đó, phép đối xứng tâm O biến B thành D.
O là trung điểm của AC. Do đó, phép đối xứng tâm O biến C thành A.
Vậy phép đối xứng tâm O biến đường thẳng BC thành đường thẳng AD (đường thẳng đi qua ảnh của B và ảnh của C).
Vì I thuộc BC, ảnh của I qua phép đối xứng tâm O, là I’, sẽ thuộc AD.
Vậy, I’ là điểm vừa thuộc CN, vừa thuộc AD.
Theo đề bài, K là giao điểm của CN và AD.
Do đó, I’ chính là K.
Phép đối xứng tâm O biến I thành K.
Điều này chứng tỏ I và K đối xứng nhau qua O.
—
Các em thấy đấy, với sự phân tích kỹ lưỡng và áp dụng đúng các kiến thức đã học, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách mạch lạc. Chú ý cách trình bày từng bước, sử dụng đúng các ký hiệu và suy luận logic là rất quan trọng.
Nếu có bất kỳ phần nào chưa rõ, các em hãy mạnh dạn hỏi thầy nhé! Chúc các em học tốt!
a) Xét \(∆AMB\) và \(∆CND\) có:
\(BM = ND =\dfrac13BD\quad (gt)\)
\(AB = CD\quad (gt)\)
\(\widehat{ABM}=\widehat{CDN}\) (so le trong)
Do đó \(∆AMB=∆CND\, (c.g.c)\)
b) Ta có:
\(ABCD\) là hình bình hành
\(AC\cap BD =\left\{O\right\}\)
\(\Rightarrow OA = OC; \, OB = OD\)
Ta lại có: \(BM = ND\quad (gt)\)
\(\Rightarrow OB – BM = OD – ND\)
\(\Rightarrow OM = ON\)
Xét tứ giác \(AMCN\) có:
\(OA = OC\) (tính chất)
\(OM = ON\quad (cmt)\)
Do đó \(AMCN\) là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết thứ 5)
c) Xét \(∆ABC\) có:
\(BO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(AC\quad (OA = OC)\)
\(BM = \dfrac{1}{3}BD = \dfrac{2}{3}BO\)
\(\Rightarrow M\) là trọng tâm \(∆ABC\)
mà \(M\in AI;\, I\in BC\)
\(\Rightarrow AI\) là trung tuyến ứng với cạnh \(BC\)
\(\Rightarrow AM = 2MI\)
d) Xét tứ giác \(AICK\) có:
\(AI//CK\quad (AM//CN)\)
\(AK//CI\quad (AD//BC)\)
Do đó \(AICK\) là hình bình hành
\(\Rightarrow AC, IK\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
mà \(O\) là trung điểm \(AC\)
nên \(O\) là trung điểm \(IK\)
hay \(I,K\) đối xứng nhau qua \(O\)
Giải thích các bước giải:
(tự vẽ hình)
a)Vì ABCD là hình bình hành
→AB//CD
mà ABM^và CDN^ là 2 góc so le trong
⇒ABM^=CDN^
Xét ΔABM và ΔCDN có:
AB=CD(vì ABCD là hình bình hành)
ABM^=CDN^
BM=DN
→ΔABM=ΔCDN(c-g-c)
⇒AM=CN(1)
b)Vì ΔABM=ΔCDN
→ABM^=CDN^
Mà AMN^+AMB^=180 độ
và CNM^+CND^= 180 độ
⇒AMN^ =CNM^
vì 2 góc này so le trong
⇒CN//AM (2)
Từ (1) và (2)⇒AMCN là hình bình hành