Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm H. Mặt phẳng (P) đi qua H…
1. (P) và (ABCD)
2. (P) và (SBC)
Chúng ta có hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm H. Có một mặt phẳng (P) đi qua điểm H và song song với mặt phẳng (SAB). Nhiệm vụ của chúng ta là tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với:
1. Mặt phẳng đáy (ABCD)
2. Mặt phẳng (SBC)
Trước hết, chúng ta cần nhớ lại một số kiến thức quan trọng về quan hệ giữa mặt phẳng song song và giao tuyến.
Nguyên tắc cơ bản để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
* Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung, thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm đó.
* Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần tìm hai điểm chung phân biệt của chúng, hoặc một điểm chung và một đường thẳng nằm trên cả hai mặt phẳng.
Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào giải quyết từng phần của bài tập.
—
Phần 1: Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABCD)
Chúng ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (ABCD).
* Bước 1: Tìm điểm chung của hai mặt phẳng.
Theo đề bài, mặt phẳng (P) đi qua điểm H. Điểm H lại là tâm của hình bình hành ABCD, do đó H nằm trên mặt phẳng (ABCD).
Vậy, điểm H là một điểm chung của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABCD).
* Bước 2: Tìm thêm một yếu tố chung hoặc một điểm chung thứ hai.
Chúng ta được cho biết mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (SAB). Điều này có nghĩa là mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đều song song với mặt phẳng (SAB) và ngược lại.
Mặt khác, chúng ta cần tìm giao tuyến của (P) với (ABCD).
Xét đường thẳng AB. Đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (ABCD).
Vì (P) song song với (SAB), nên mọi mặt phẳng chứa (P) sẽ cắt (SAB) theo một đường thẳng song song với các đường thẳng trong (P).
Tuy nhiên, điều này chưa trực tiếp giúp ta tìm giao tuyến với (ABCD).
Hãy suy nghĩ ngược lại: Nếu (P) song song với (SAB), thì mọi đường thẳng nằm trong (P) sẽ song song với (SAB).
Ta đang tìm giao tuyến của (P) và (ABCD). Ta đã có điểm H chung.
Vì (P) song song với (SAB), chúng ta cần xem xét mối quan hệ giữa các đường thẳng trong (P) và các đường thẳng trong (ABCD).
Hãy xem xét đường thẳng AB. Đường thẳng AB thuộc mặt phẳng (ABCD).
Vì (P) song song với (SAB), thì đường thẳng AB là một đường thẳng trong (SAB).
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (SAB). Điều này có nghĩa là khoảng cách từ mọi điểm trên (P) đến (SAB) là như nhau.
Chúng ta cần tìm một đường thẳng thuộc (P) và cũng thuộc (ABCD).
Ta biết (P) đi qua H.
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (SAB).
Khi hai mặt phẳng song song, chúng không có điểm chung. Nhưng ở đây, (P) có điểm chung H với (ABCD).
Chúng ta đang tìm giao tuyến giữa (P) và (ABCD).
Ta đã có điểm H chung.
Bây giờ, ta cần tìm một đường thẳng nằm trên cả (P) và (ABCD).
Vì (P) song song với (SAB), nên mọi đường thẳng trong (P) sẽ song song với mặt phẳng (SAB).
Tuy nhiên, ta cần tìm một đường thẳng trong (P) và cũng trong (ABCD).
Hãy suy nghĩ về tính chất song song.
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (SAB).
Điều này có nghĩa là nếu ta có một mặt phẳng thứ ba cắt cả hai mặt phẳng song song này, thì giao tuyến của nó với hai mặt phẳng đó sẽ song song với nhau.
Trong trường hợp này, mặt phẳng (ABCD) chính là mặt phẳng thứ ba cắt mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SAB).
* Giao tuyến của (ABCD) và (SAB) là đường thẳng AB (vì A và B cùng thuộc cả hai mặt phẳng).
* Giao tuyến của (P) và (ABCD) chính là đường thẳng mà chúng ta cần tìm.
Vì (P) // (SAB), và (ABCD) cắt cả hai mặt phẳng này, nên giao tuyến của (P) và (ABCD) sẽ song song với giao tuyến của (SAB) và (ABCD).
Giao tuyến của (SAB) và (ABCD) là đường thẳng AB.
Do đó, giao tuyến của (P) và (ABCD) phải song song với AB.
Gọi d là giao tuyến của (P) và (ABCD).
Ta có d // AB.
Ta đã biết (P) đi qua H.
Điểm H nằm trên (ABCD).
Đường thẳng d phải đi qua H và song song với AB.
Trong mặt phẳng (ABCD), chỉ có một đường thẳng đi qua điểm H và song song với đường thẳng AB. Đó là đường thẳng đi qua H và song song với AB.
Vì ABCD là hình bình hành, H là tâm. Đường thẳng đi qua H và song song với AB sẽ cắt các cạnh AD và BC tại trung điểm của chúng. Gọi hai điểm này là M trên AD và N trên BC.
Vậy, đường thẳng MN chính là giao tuyến của (P) và (ABCD).
Tóm lại, giao tuyến là đường thẳng đi qua H và song song với AB (và CD).
Kết luận cho phần 1:
Giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng đi qua H và song song với AB (và CD).
—
Phần 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SBC)
Chúng ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (SBC).
* Bước 1: Tìm điểm chung của hai mặt phẳng.
Chúng ta biết mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (SAB).
Chúng ta cần tìm một điểm chung giữa (P) và (SBC).
Hãy xem xét điểm B. B có thuộc (SBC) không? Có.
B có thuộc (P) không? Chưa chắc.
Hãy xem xét điểm S. S có thuộc (SBC) không? Có.
S có thuộc (P) không? Chưa chắc.
Đây là một phần khó hơn, chúng ta cần sử dụng tính chất song song một cách linh hoạt.
Ta có (P) // (SAB).
Ta cần tìm giao tuyến của (P) với (SBC).
Chúng ta đã tìm được giao tuyến của (P) với (ABCD) ở phần 1 là đường thẳng MN, với M thuộc AD, N thuộc BC, và MN // AB // CD, đi qua H.
Bây giờ, ta cần tìm giao tuyến của (P) và (SBC).
Ta có đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (P).
Ta cần xem đường thẳng MN có mối quan hệ gì với mặt phẳng (SBC).
Đường thẳng MN song song với AB.
Đường thẳng AB không nằm trong mặt phẳng (SBC).
Hãy tìm điểm chung.
Ta biết (P) // (SAB).
Mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (SAB) theo đường thẳng SB.
Mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến cần tìm, gọi là d’.
Vì (P) // (SAB), nên giao tuyến của (P) với (SBC) sẽ song song với giao tuyến của (SAB) với (SBC).
Giao tuyến của (SAB) và (SBC) chính là đường thẳng SB.
Do đó, giao tuyến d’ của (P) và (SBC) phải song song với SB.
Vậy, d’ là một đường thẳng song song với SB.
Bây giờ, ta cần tìm một điểm thuộc đường thẳng d’.
Ta biết đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (P).
Ta cần xem xét liệu đường thẳng MN có cắt mặt phẳng (SBC) hay không.
Đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (ABCD).
N là điểm trên BC, N thuộc BC.
Do N thuộc BC, nên N cũng thuộc mặt phẳng (SBC).
Như vậy, điểm N là một điểm chung của mặt phẳng (P) (vì N thuộc MN, MN thuộc P) và mặt phẳng (SBC).
* Điểm chung thứ nhất là N.
* Giao tuyến d’ phải song song với SB.
Vậy, giao tuyến của (P) và (SBC) là đường thẳng đi qua điểm N và song song với SB.
Gọi đường thẳng đi qua N và song song với SB là NK.
Ta có NK // SB.
N thuộc (P) và N thuộc (SBC).
Do đó, đường thẳng NK sẽ là giao tuyến của (P) và (SBC).
Kiểm tra lại:
* Đường thẳng NK có nằm trong (P) không?
Ta có N là điểm trên BC. MN là giao tuyến của (P) và (ABCD). MN // AB // CD.
N có phải là điểm thuộc (P) không? Có, vì N thuộc MN.
Ta cần chứng minh NK thuộc (P).
Nếu NK // SB, và N thuộc (P), ta cần chứng minh cả đường thẳng NK nằm trong (P).
Ta biết (P) // (SAB).
Ta có đường thẳng MN trong (P), MN // AB.
Ta có điểm N là giao điểm của MN với BC.
Ta tìm được N là một điểm chung giữa (P) và (SBC).
Ta cũng suy luận rằng giao tuyến phải song song với SB.
Ta cần tìm một điểm chung khác hoặc một đường thẳng chung.
Xét điểm M. M thuộc AD. M thuộc (ABCD).
M có thuộc (P) không? Có, vì M thuộc MN.
M có thuộc (SBC) không? Không chắc.
Hãy quay lại định lý về mặt phẳng song song và mặt phẳng cắt.
(P) // (SAB).
(SBC) là một mặt phẳng cắt cả hai mặt phẳng song song này.
Giao tuyến của (SBC) với (SAB) là đường thẳng SB.
Giao tuyến của (SBC) với (P) là đường thẳng cần tìm.
Suy ra, giao tuyến của (SBC) và (P) sẽ song song với SB.
Bây giờ, ta cần xác định điểm nào thuộc cả (P) và (SBC).
Ta đã có M thuộc AD và N thuộc BC. MN là giao tuyến của (P) với (ABCD).
Điểm N thuộc BC, do đó N thuộc mặt phẳng (SBC).
Vì N thuộc MN, và MN thuộc (P), nên N cũng thuộc (P).
Vậy N là điểm chung của (P) và (SBC).
Ta có N là điểm chung.
Giao tuyến của (P) và (SBC) phải đi qua N và song song với SB.
Gọi đường thẳng đó là d’.
d’ đi qua N và d’ // SB.
Vậy, giao tuyến của (P) và (SBC) là đường thẳng đi qua N và song song với SB.
Kết luận cho phần 2:
Giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SBC) là đường thẳng đi qua điểm N (là giao điểm của MN với BC, trong đó MN là giao tuyến của (P) với (ABCD)) và song song với SB.
—
Các em thấy đó, việc tìm giao tuyến đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt các tính chất của mặt phẳng song song và các định lý liên quan. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé. Buổi học của chúng ta hôm nay đến đây là kết thúc. Chúc các em học tốt!
Giải thích các bước giải:
1. (P) qua H và (P)//(SAB)
(P)∩(SAB)=EF
do H là điểm chung 1 và (P)//AB nên giao tuyến EF qua H và EF//AB
2. (P)∩(SBC)=TF
do F là điểm chung 1 và (P)//SB nên giao tuyến qua F và TF//SB