Chào các em, thầy là giáo viên Toán lớp 11. Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về thiết diện của hình chóp. Bài này có vẻ hơi khó một chút nhưng nếu chúng ta đi từng bước thật cẩn thận thì sẽ làm được thôi. Đừng lo lắng nhé, thầy sẽ hướng dẫn chi tiết để các em hiểu rõ.

Trước tiên, chúng ta cần phân tích đề bài. Chúng ta có một hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang cân. Chúng ta biết độ dài hai đáy AB và CD, cùng với độ dài cạnh bên BC. Quan trọng nhất là có một mặt phẳng (a) song song với đáy và cắt cạnh bên SO (với O là giao điểm hai đường chéo của đáy ABCD). Mặt phẳng này chia cạnh SO theo tỉ lệ nhất định. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm diện tích của thiết diện tạo ra.

Các em nhớ lại kiến thức về thiết diện của hình chóp với mặt phẳng song song với đáy. Thiết diện sẽ là một hình đồng dạng với đáy.

Bước 1: Xác định vị trí điểm O và tính các yếu tố của đáy ABCD.
Vì ABCD là hình thang cân, ta có AD = BC = \(\sqrt{5}\).
Để tính diện tích hình thang, chúng ta cần chiều cao của nó.
Kẻ đường cao từ C và D xuống AB. Gọi chân đường cao từ D xuống AB là H, từ C xuống AB là K.
Ta có: \(AH = \frac{AB – CD}{2} = \frac{11 – 7}{2} = 2\).
Xét tam giác vuông DHC (hoặc CKD), ta có \(CK = \sqrt{CD^2 – DK^2}\). À, thầy xin lỗi, chúng ta cần tính chiều cao của hình thang, gọi là h.
Ta có \(AK = \frac{AB-CD}{2} = \frac{11-7}{2} = 2\).
Xét tam giác vuông CKD, ta có \(CK^2 + DK^2 = CD^2\). À không, chúng ta cần tính chiều cao h.
Kẻ đường cao từ C xuống AB tại K, từ D xuống AB tại H.
Ta có \(HK = CD = 7\).
\(AH = KB = \frac{AB – CD}{2} = \frac{11 – 7}{2} = 2\).
Xét tam giác vuông CKD, ta có \(CK^2 + DK^2 = CD^2\). Không đúng.
Xét tam giác vuông CK B, ta có \(CK^2 + KB^2 = BC^2\).
Vậy \(h^2 + 2^2 = (\sqrt{5})^2\).
\(h^2 + 4 = 5\).
\(h^2 = 1\).
\(h = 1\).
Chiều cao của hình thang ABCD là 1.
Diện tích đáy ABCD là: \(S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \times h = \frac{11 + 7}{2} \times 1 = \frac{18}{2} \times 1 = 9\) (đơn vị diện tích).

Bước 2: Xác định tâm O và tính tỉ lệ đồng dạng.
Đề bài cho biết mặt phẳng (a) cắt cạnh SO. O là giao điểm hai đường chéo của hình thang ABCD.
Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Chúng ta cần tìm tỉ lệ giữa chiều cao của hình chóp nhỏ (tính từ S xuống mặt phẳng thiết diện) và chiều cao của hình chóp lớn (tính từ S xuống đáy ABCD).
Mặt phẳng (a) song song với mặt phẳng đáy (ABCD).
Đề bài cho \(2SO = 5SI\), với I là giao điểm của mặt phẳng (a) và cạnh SO.
Từ \(2SO = 5SI\), ta suy ra \(SI = \frac{2}{5}SO\).
Điều này có nghĩa là tỉ lệ chiều cao từ S đến mặt phẳng (a) so với chiều cao từ S đến mặt phẳng đáy là:
\(k = \frac{SI}{SO} = \frac{2}{5}\).

Bước 3: Tính diện tích thiết diện.
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (a) song song với đáy và hình chóp là một hình đồng dạng với đáy ABCD.
Gọi thiết diện là A’B’C’D’. Vì mặt phẳng (a) song song với (ABCD), ta có \(A’B’ \parallel AB\), \(B’C’ \parallel BC\), \(C’D’ \parallel CD\), \(D’A’ \parallel DA\).
Hình A’B’C’D’ sẽ là một hình thang cân đồng dạng với hình thang cân ABCD.
Tỉ số diện tích của hai hình đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Tỉ số đồng dạng ở đây là tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai hình, hoặc tỉ số giữa các đường cao tương ứng.
Tỉ số đồng dạng giữa hình thiết diện A’B’C’D’ và đáy ABCD chính là tỉ lệ chiều cao từ đỉnh S đến mặt phẳng thiết diện so với chiều cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy.
Chúng ta đã xác định tỉ lệ này là \(k = \frac{SI}{SO} = \frac{2}{5}\).
Do đó, tỉ số diện tích là \(k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}\).
Diện tích thiết diện \(S_{A’B’C’D’}\) sẽ bằng diện tích đáy ABCD nhân với tỉ số diện tích này.
\(S_{thiết diện} = S_{A’B’C’D’} = S_{ABCD} \times k^2\).
\(S_{thiết diện} = 9 \times \frac{4}{25} = \frac{36}{25}\) (đơn vị diện tích).

Vậy, diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (a) và hình chóp là \(\frac{36}{25}\) đơn vị diện tích.

Các em thấy không, khi chúng ta đi từng bước, phân tích rõ ràng thì bài toán trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Quan trọng là nắm vững khái niệm về thiết diện song song với đáy và tính chất của các hình đồng dạng.

Chúc các em thi tốt chiều nay nhé! Nếu có gì chưa rõ, đừng ngần ngại hỏi lại thầy.