Chào các em học sinh yêu quý!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán hình học không gian khá thú vị.
Bài toán yêu cầu tìm góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy (ABCD).
Đây là dạng bài tập cơ bản trong chương trình Toán 12, liên quan đến khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bước 1: Xác định hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng đáy.
Chúng ta có đường thẳng SB và mặt phẳng đáy (ABCD).
Chúng ta cần tìm một điểm trên SB chiếu vuông góc xuống mặt phẳng đáy.
Đề bài cho biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD).
Điều này có nghĩa là điểm A là hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng đáy.
Vậy, hình chiếu của đường thẳng SB lên mặt phẳng đáy (ABCD) chính là đường thẳng AB.

Bước 2: Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Trong trường hợp này, đường thẳng là SB và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đáy là AB.
Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy (ABCD) chính là góc giữa hai đường thẳng SB và AB.
Góc này chính là góc SBA.

Bước 3: Sử dụng định lý Pitago để tìm độ dài các cạnh trong tam giác vuông.
Chúng ta đã biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy, nên SA cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy đi qua A. Cụ thể, SA vuông góc với AB.
Vì vậy, tam giác SAB là tam giác vuông tại A.
Đề bài cho biết AB = a (do ABCD là hình vuông cạnh a).
Và SB = 2a.
Chúng ta có thể áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông SAB để tìm độ dài SA (mặc dù không cần thiết cho bài toán này, nhưng để củng cố kiến thức).
Theo định lý Pitago, ta có:
\[ SB^2 = SA^2 + AB^2 \]
Thay số vào:
\[ (2a)^2 = SA^2 + a^2 \]
\[ 4a^2 = SA^2 + a^2 \]
\[ SA^2 = 4a^2 – a^2 \]
\[ SA^2 = 3a^2 \]
\[ SA = a\sqrt{3} \]

Bước 4: Sử dụng lượng giác để tìm góc.
Bây giờ, chúng ta cần tìm góc SBA trong tam giác vuông SAB.
Chúng ta đã biết các cạnh của tam giác vuông SAB:
– Cạnh AB (cạnh kề với góc SBA) có độ dài là a.
– Cạnh SB (cạnh huyền) có độ dài là 2a.
Chúng ta có thể sử dụng tỉ số lượng giác cosin của góc SBA:
Lý do áp dụng công thức cosin: Chúng ta biết độ dài cạnh kề và cạnh huyền của góc trong một tam giác vuông, nên công thức cosin là phù hợp nhất để tìm góc.
\[ \cos(\text{góc } SBA) = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}} \]
Thay số vào:
\[ \cos(\text{góc } SBA) = \frac{AB}{SB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \]
Để tìm góc SBA, chúng ta sử dụng hàm arccos (hoặc cos nghịch đảo):
\[ \text{góc } SBA = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) \]
Chúng ta đều biết rằng góc có cosin bằng 1/2 là 60 độ.
\[ \text{góc } SBA = 60^\circ \]

Kết luận:
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60 độ.

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!
Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!