cho hình thang ABCD có AB song song với CD, góc C= góc D
Hai tia DA và CB cắt …
Hai tia DA và CB cắt nhau tại O
M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD chứng minh
a, tam giác OCD, tam giác OAB cân
b, Đường thẳng OM là đường trung trực của AB
c, ba điểm O,M,N thẳng hàng
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ vận dụng các kiến thức về hình thang, tam giác cân, và các đường đặc biệt trong tam giác (đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác) mà các em đã học.
a, Chứng minh tam giác OCD và tam giác OAB cân
* Chứng minh tam giác OCD cân:
Theo giả thiết của bài toán, ta có hình thang ABCD với hai góc ở đáy CD bằng nhau: \( \angle C = \angle D \).
Hai góc này cũng chính là hai góc \( \angle OCD \) và \( \angle ODC \) của tam giác OCD.
Xét tam giác OCD, ta có:
\( \angle OCD = \angle ODC \) (theo giả thiết).
Một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân (đây là dấu hiệu nhận biết tam giác cân các em đã học).
Vậy, tam giác OCD cân tại đỉnh O.
* Chứng minh tam giác OAB cân:
Vì ABCD là hình thang nên ta có cạnh AB song song với cạnh CD ( \( AB // CD \) ).
Do \( AB // CD \), ta có các cặp góc đồng vị bằng nhau:
– \( \angle OAB = \angle ODC \) (hai góc đồng vị)
– \( \angle OBA = \angle OCD \) (hai góc đồng vị)
Mà theo giả thiết, ta lại có \( \angle OCD = \angle ODC \).
Từ ba điều trên, ta suy ra được: \( \angle OAB = \angle OBA \).
Xét tam giác OAB, có hai góc \( \angle OAB = \angle OBA \).
Vậy, tam giác OAB cân tại đỉnh O.
b, Chứng minh đường thẳng OM là đường trung trực của AB
Theo kết quả của câu a, ta đã chứng minh được tam giác OAB cân tại O.
Theo giả thiết, M là trung điểm của cạnh AB.
Do đó, đoạn thẳng OM nối đỉnh O với trung điểm M của cạnh đối diện AB, nên OM là đường trung tuyến của tam giác OAB.
Bây giờ, các em hãy nhớ lại tính chất đặc biệt của tam giác cân nhé: “Trong một tam giác cân, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường phân giác và cũng là đường trung trực của cạnh đáy đó.”
Áp dụng tính chất này vào tam giác OAB cân tại O, đường trung tuyến OM cũng chính là đường trung trực của cạnh đáy AB.
Vậy, đường thẳng OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
c, Chứng minh ba điểm O, M, N thẳng hàng
Để chứng minh ba điểm O, M, N thẳng hàng, chúng ta sẽ chứng minh rằng cả hai tia OM và ON đều là tia phân giác của cùng một góc. Các em hãy theo dõi nhé.
(1) Xét tam giác OAB:
Tam giác OAB cân tại O (chứng minh ở câu a).
OM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy AB (vì M là trung điểm AB).
Theo tính chất của tam giác cân, đường trung tuyến OM đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh.
Suy ra, tia OM là tia phân giác của góc \( \angle AOB \).
(2) Xét tam giác OCD:
Tương tự, tam giác OCD cân tại O (chứng minh ở câu a).
ON là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy CD (vì N là trung điểm CD).
Theo tính chất của tam giác cân, đường trung tuyến ON đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh.
Suy ra, tia ON là tia phân giác của góc \( \angle COD \).
Các em chú ý rằng hai góc \( \angle AOB \) và \( \angle COD \) thực chất là một, vì tia OA trùng với tia OD, tia OB trùng với tia OC. Chúng ta có thể gọi chung là góc O của hai tam giác.
Từ (1) và (2), ta thấy cả hai tia OM và ON đều là tia phân giác của cùng một góc O.
Mà mỗi góc chỉ có một và chỉ một tia phân giác.
Do đó, hai tia OM và ON phải trùng nhau.
Vậy, ba điểm O, M, N cùng nằm trên một đường thẳng, hay ba điểm O, M, N thẳng hàng.
Cô hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách vận dụng các kiến thức đã học vào giải một bài toán hình học. Chúc các em học tốt
\(\textit{*baochaukrp}\)
\(\textit{#hoidap247}\)
a) Vì \(\widehat{C}\) = \(\widehat{D}\) nên Δ\(OCD\) cân tại \(O\).
Do \(AB////CD\) nên \(\widehat{OAB}\) = \(\widehat{D}\) và \(\widehat{OBA}\) = \(\widehat{C}\) (hai góc đồng vị).
Do đó \(\widehat{OAB}\) \(=\) \(\widehat{OBA}\)
\(=>\) Δ \(OAB\) cân tại \(O\)
b) Ta có Δ \(OAB\) cân tại \(O\)
Nên \(OA\) \(=\) \(OB\)
Và \(MA\) \(=\) \(MB\) (giả thiết)
\(=>\) \(OM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\)
c) Vì Δ \(OCD\) cân tại \(O\)
Nên \(OC\) \(=\) \(OD\)
Và \(NC\) \(=\) \(ND\) (giả thiết)
\(=>\) \(ON\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(CD\)
Do đó \(ON\) \(\bot\) \(OC\)
Vì \(OM\) là đường trung trực của \(AB\)
Nên \(OM\) \(\bot\) \(AB\).
Mà \(AB //// CD\)
Nên \(OM\) \(\bot\) \(CD\)
Ta có: \(OM\) \(\bot\) \(CD\)
\(ON\) \(\bot\) \(CD\)
\(=>\) \(O\), \(M\), \(N\) thẳng hàng.
Đáp án:
Để chứng minh các điều trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thang và các tam giác cân:
1. Ta có AB || CD, góc C = góc D. Khi đó, ta có góc ACD = góc BCD (do cùng chắn với cùng cạnh CD).
Tương tự, góc CDA = góc CDB.
Vậy tam giác OCD và tam giác OAB cân (do có 2 cặp góc bằng nhau).
2. Ta biết M là trung điểm của AB nên AM = MB.
Vì AB || CD nên góc ACD = góc BCD (do là góc đối của cùng cạnh CD). Khi đó, tam giác ACD và tam giác BCD đồng dạng.
Vậy AM/AC = MB/BC = 1/2.
Do đó, ta có OM song song với AC và OM = 1/2 * AC = 1/2 * AB.
Vậy OM là đường trung trực của AB.
3. Ta biết M là trung điểm của CD nên CN = ND.
Vì OM || AB nên góc MON = góc MAB (do là góc đối của cùng cạnh AB).
Vì OM là đường trung trực của AB nên OM = MB.
Vậy tam giác MON và tam giác MAB đồng dạng.
Từ đó, ta có góc MON = góc MAB = góc NCD = góc NDC.
Vậy ba điểm O, M, N thẳng hàng.
Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.