Chào các em học sinh lớp 10! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập về vecto trong hình học rất thú vị dựa trên kiến thức Sách giáo khoa Toán lớp 10. Bài tập này giúp chúng ta củng cố và vận dụng các quy tắc cộng, trừ vecto cũng như tính chất của hình vuông.

Chúng ta bắt đầu nhé!

Bài tập: Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O. Tính độ dài các vecto sau: |AB + AD|, |AB + AC|, |AB – AD|.

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ đi qua từng yêu cầu một, phân tích và áp dụng các kiến thức đã học.

1. Tính độ dài vecto |AB + AD|

* Bước 1: Xác định quy tắc cộng vecto.
Chúng ta có hai vecto xuất phát từ cùng một điểm A là AB và AD. Theo quy tắc hình bình hành để cộng hai vecto cùng điểm đầu, ta có:
AB + AD = AC.
(Tưởng tượng ta dựng hình bình hành ABMC, thì AC là đường chéo. Trong trường hợp này, vì ABCD là hình vuông nên hình bình hành ABMC chính là hình vuông ABCD, và đường chéo là AC).

* Bước 2: Xác định độ dài của vecto kết quả.
Bây giờ, chúng ta cần tính độ dài của vecto AC, tức là |AC|.
Vì ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác ABC là tam giác vuông tại B. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
Mà AB = a và BC = a (do ABCD là hình vuông).
Nên \(AC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\).
Từ đó, suy ra \(AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\) (vì a là độ dài nên a > 0).

* Kết luận: Vậy, |AB + AD| = |AC| = \(a\sqrt{2}\).

2. Tính độ dài vecto |AB + AC|

* Bước 1: Phân tích vecto AC theo các cạnh của hình vuông.
Vecto AC là đường chéo của hình vuông. Ta có thể biểu diễn vecto AC qua hai vecto AB và AD (hoặc AB và BC).
Theo quy tắc hình bình hành đã áp dụng ở trên, ta có:
AC = AB + AD.
Vì ABCD là hình vuông, AD = BC. Vậy, AC = AB + BC.

* Bước 2: Thay thế và áp dụng quy tắc cộng vecto.
Ta cần tính |AB + AC|. Thay AC = AB + BC vào biểu thức, ta có:
AB + AC = AB + (AB + BC) = 2AB + BC.
Đây là một cách biểu diễn, tuy nhiên để tính độ dài một cách trực tiếp từ 2AB + BC có thể phức tạp. Chúng ta hãy thử một cách khác bằng cách sử dụng tâm O của hình vuông.

* Cách tiếp cận khác (sử dụng tâm O):
Chúng ta biết O là tâm của hình vuông. Các vecto từ tâm đến các đỉnh có mối quan hệ với nhau.
Ví dụ, OA = -OC và OB = -OD.
Ta cũng có thể biểu diễn AB và AC qua các vecto từ tâm.
Tuy nhiên, cách đơn giản nhất là sử dụng mối quan hệ giữa các đường chéo.
Ta biết rằng đường chéo AC = AB + AD.
Và đường chéo BD = BA + BC = -AB + AD.

Bây giờ quay lại với AB + AC.
Ta có thể biểu diễn AC qua hai vecto gốc AB và AD: AC = AB + AD.
Do đó, AB + AC = AB + (AB + AD) = 2AB + AD.
Để tính độ dài của vecto 2AB + AD, chúng ta cần xác định hướng của vecto này.
Vecto 2AB có cùng hướng với AB, và có độ dài bằng 2a. Vecto AD vuông góc với AB và có độ dài bằng a.

Ta có thể đặt gốc tọa độ tại A. Chọn AB theo trục Ox, AD theo trục Oy.
Khi đó: A = (0, 0), B = (a, 0), D = (0, a), C = (a, a).
Vecto AB = (a, 0).
Vecto AC = (a, a).
Vecto AB + AC = (a, 0) + (a, a) = (2a, a).
Độ dài của vecto (2a, a) là:
\( |AB + AC| = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \).

* Kiểm tra lại với quy tắc hình bình hành:
Để tính AB + AC, ta có thể dời vecto AC về điểm B. Gọi D’ là điểm sao cho ABD’C là hình bình hành. Thì AB + AC = AD’.
Tuy nhiên, cách này không đưa về dạng quen thuộc ngay.
Ta xem xét lại biểu diễn 2AB + AD.
Đặt M là điểm sao cho AM = 2AB. Khi đó M nằm trên tia AB và AM = 2a.
Cần tính độ dài của vecto 2AB + AD.
Tưởng tượng ta có điểm A, B, D. Vecto AB và AD vuông góc với nhau.
Nếu ta có vecto u = 2AB và vecto v = AD. Ta cần tính |u + v|.
|u + v|^2 = (u + v) . (u + v) = u.u + 2u.v + v.v
Vì u vuông góc với v (AB vuông góc với AD), nên u.v = 0.
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 = |2AB|^2 + |AD|^2
|u + v|^2 = (2a)^2 + a^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2.
Suy ra \(|u + v| = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}\).

* Kết luận: Vậy, |AB + AC| = \(a\sqrt{5}\).

3. Tính độ dài vecto |AB – AD|

* Bước 1: Xác định quy tắc trừ vecto.
Chúng ta có hai vecto xuất phát từ cùng một điểm A là AB và AD. Theo quy tắc trừ vecto, ta có:
AB – AD = DB.
(Quy tắc: Nếu có hai vecto cùng điểm đầu là A, vecto thứ nhất là AB, vecto thứ hai là AD, thì AB – AD = DB, vecto nối từ điểm cuối của vecto thứ hai (D) đến điểm cuối của vecto thứ nhất (B)).

* Bước 2: Xác định độ dài của vecto kết quả.
Bây giờ, chúng ta cần tính độ dài của vecto DB, tức là |DB|.
Vecto DB chính là đường chéo của hình vuông ABCD, nhưng theo hướng ngược lại với BD. Tuy nhiên, độ dài của DB bằng độ dài của BD.
Ta áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông DAB (vuông tại A).
\(DB^2 = DA^2 + AB^2\)
Mà DA = a và AB = a (do ABCD là hình vuông).
Nên \(DB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\).
Từ đó, suy ra \(DB = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\) (vì a là độ dài nên a > 0).

* Kết luận: Vậy, |AB – AD| = |DB| = \(a\sqrt{2}\).

Các em thấy đó, với các quy tắc cộng, trừ vecto cơ bản và định lý Pitago, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết được bài tập này một cách dễ dàng. Quan trọng là chúng ta phải hình dung được hình ảnh của các vecto trên hình vuông và áp dụng đúng quy tắc.

Hãy xem lại bài giảng này và tự mình thực hiện lại các bước để khắc sâu kiến thức nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.