Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập về vectơ trong hình học nhé. Bài tập này nằm trong chương trình Toán lớp 10 của chúng ta, rất thú vị và giúp các em củng cố kiến thức về biểu diễn vectơ.

Đề bài yêu cầu chúng ta tính độ dài của vectơ \(\vec{DA} + \vec{DO}\) trong một hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a.

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách cẩn thận, đảm bảo bám sát kiến thức đã học.

Bước 1: Xác định vị trí các điểm và tính chất của hình vuông.

Chúng ta có hình vuông ABCD. Điều này có nghĩa là:
– Tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau: AB = BC = CD = DA = 2a.
– Các góc của hình vuông là góc vuông: \(\angle DAB = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = 90^\circ\).
– Tâm O của hình vuông là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
– Tâm O cách đều các đỉnh của hình vuông, tức là OA = OB = OC = OD.
– Độ dài đường chéo AC = BD = \(\sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}\).
– Do đó, OA = OB = OC = OD = \(\frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (2a\sqrt{2}) = a\sqrt{2}\).

Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng vectơ để tìm vectơ tổng \(\vec{DA} + \vec{DO}\).

Chúng ta cần tính độ dài của vectơ \(\vec{DA} + \vec{DO}\). Để làm được điều này, chúng ta sẽ tìm vectơ tổng trước.

Xét vectơ \(\vec{DO}\). Vì O là tâm hình vuông, nên \(\vec{DO} = -\vec{OD}\).
Tuy nhiên, để áp dụng quy tắc cộng vectơ một cách hiệu quả, chúng ta có thể tìm một điểm chung hoặc sử dụng tính chất của hình bình hành.

Hãy xem xét điểm D. Chúng ta có vectơ \(\vec{DA}\) và \(\vec{DO}\).

Trong hình vuông ABCD, đường chéo BD đi qua tâm O. Ta biết rằng O là trung điểm của BD.
Do đó, \(\vec{DO} = \frac{1}{2} \vec{DB}\).

Bây giờ, chúng ta có thể viết lại biểu thức cần tính:
\(\vec{DA} + \vec{DO} = \vec{DA} + \frac{1}{2} \vec{DB}\).

Tuy nhiên, cách này có vẻ hơi phức tạp để tìm độ dài ngay lập tức. Chúng ta hãy thử một hướng khác, sử dụng tính chất của hình bình hành hoặc đưa về cùng một điểm gốc.

Hãy xem xét vectơ \(\vec{DA}\). Ta có thể biểu diễn nó theo các cạnh của hình vuông.
Độ dài của \(\vec{DA}\) là DA = 2a.

Bây giờ, chúng ta cần xem xét vectơ \(\vec{DO}\).
Vì O là tâm hình vuông, nó là trung điểm của đường chéo BD.
Ta có \(\vec{DO} = \frac{1}{2}\vec{DB}\).

Ta có thể sử dụng tính chất hình thoi để tìm mối liên hệ giữa các vectơ. Tuy nhiên, chúng ta đang làm việc với hình vuông.

Hãy thử đưa về cùng một điểm gốc.
Ta có thể xem xét \(\vec{DA} + \vec{DO}\).

Trong hình vuông ABCD, ta có thể chọn điểm D làm điểm gốc.
Ta có \(\vec{DA}\) và \(\vec{DO}\).

Bây giờ, hãy nghĩ xem liệu \(\vec{DA} + \vec{DO}\) có thể tạo thành một vectơ mới có độ dài dễ tính không.

Xét tam giác DAO. OA = OD = \(a\sqrt{2}\) và DA = 2a.
Tam giác DAO là tam giác cân.

Chúng ta hãy thử sử dụng quy tắc cộng vectơ theo cách khác.
Chúng ta có thể viết \(\vec{DO}\) bằng cách sử dụng vectơ \(\vec{DA}\) và \(\vec{DC}\) (hoặc \(\vec{AB}\)).
Vì O là tâm, \(\vec{DO} = \frac{1}{2} (\vec{DA} + \vec{DC})\).
Điều này là do trong hình bình hành DAB’C, tâm là trung điểm của đường chéo. Trong hình vuông, DABC, nếu ta xem xét hình bình hành DABC (không phải hình vuông), thì O là trung điểm của DB.
Trong hình vuông ABCD, \(\vec{DO} = \frac{1}{2}\vec{DB}\).
Và \(\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}\).
Vì ABCD là hình vuông, \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Nên \(\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC}\).
Do đó, \(\vec{DO} = \frac{1}{2} (\vec{DA} + \vec{DC})\).

Bây giờ, thay vào biểu thức cần tính:
\(\vec{DA} + \vec{DO} = \vec{DA} + \frac{1}{2} (\vec{DA} + \vec{DC})\)
\(= \vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{DC}\)
\(= \frac{3}{2}\vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{DC}\)

Biểu thức này vẫn chưa giúp ta tính độ dài dễ dàng. Chúng ta hãy quay lại xem xét tính chất của hình vuông và tâm O.

Hãy xem xét tam giác vuông DAB. Ta có \(\vec{DA}\).
Ta cần \(\vec{DO}\). O là trung điểm của BD.

Hãy thử một cách tiếp cận khác.
Chúng ta có thể di chuyển một trong các vectơ về cùng một điểm gốc.
Đặt điểm A làm gốc.
\(\vec{DA} = -\vec{AD}\).
\(\vec{DO} = \vec{AO} – \vec{AD}\).
\(\vec{DA} + \vec{DO} = -\vec{AD} + (\vec{AO} – \vec{AD})\)
\(= \vec{AO} – 2\vec{AD}\).
Độ dài của vectơ này vẫn khó tính trực tiếp.

Bây giờ, hãy quay lại với quy tắc cộng vectơ cơ bản.
Chúng ta có vectơ \(\vec{DA}\) và \(\vec{DO}\).

Hãy xem xét điểm M sao cho \(\vec{DM} = \vec{DA} + \vec{DO}\).
Ta cần tìm độ dài của \(\vec{DM}\).

Vì O là trung điểm của BD, \(\vec{DO} = \frac{1}{2} \vec{DB}\).
Nên \(\vec{DA} + \vec{DO} = \vec{DA} + \frac{1}{2} \vec{DB}\).

Hãy thử vẽ hình và hình dung.
Hình vuông ABCD. O là tâm.
Vectơ \(\vec{DA}\) là một cạnh của hình vuông.
Vectơ \(\vec{DO}\) đi từ D đến tâm O.

Ta biết rằng \(\vec{DA}\) và \(\vec{DO}\) không cùng phương.
Ta có thể sử dụng định lý cos trong tam giác DAO để tính độ dài của vectơ tổng nếu ta biết mối quan hệ giữa chúng.

Trong tam giác DAO, ta có các cạnh:
DA = 2a
OA = \(a\sqrt{2}\)
OD = \(a\sqrt{2}\)

Góc \(\angle ADO\). Vì ABCD là hình vuông, đường chéo BD chia góc \(\angle ADC = 90^\circ\) thành hai góc bằng nhau, tức là \(\angle ADO = 45^\circ\).

Bây giờ, chúng ta có thể sử dụng định lý cos trong tam giác DAO để tìm độ dài của một vectơ nào đó. Tuy nhiên, chúng ta đang tính tổng hai vectơ \(\vec{DA}\) và \(\vec{DO}\).

Chúng ta có thể tìm một vectơ tương đương với \(\vec{DA} + \vec{DO}\).
Hãy xem xét điểm E sao cho ADOE là một hình bình hành. Khi đó \(\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{DO}\).
Nhưng O không phải là đỉnh đối diện với D trong một hình bình hành được tạo bởi \(\vec{DA}\) và \(\vec{DO}\).

Hãy sử dụng một quy tắc cộng vectơ nâng cao hơn, đó là quy tắc hình bình hành.
Nếu ta có hai vectơ chung gốc, ví dụ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\), thì \(\vec{u} + \vec{v}\) là vectơ đường chéo của hình bình hành tạo bởi \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\).

Ở đây, chúng ta có \(\vec{DA}\) và \(\vec{DO}\). Chúng có chung điểm cuối D.
Để sử dụng quy tắc hình bình hành, chúng ta cần chúng có chung điểm gốc.
Hãy đổi \(\vec{DO}\) thành \(-\vec{OD}\).
Ta có \(\vec{DA} – \vec{OD}\). Vectơ hiệu này là một đường chéo của hình bình hành tạo bởi \(\vec{DA}\) và \(\vec{OD}\).

Tuy nhiên, đề bài yêu cầu \(\vec{DA} + \vec{DO}\).
Hãy sử dụng một điểm gốc chung, ví dụ điểm D.
Ta có \(\vec{DA}\) và \(\vec{DO}\).

Hãy nghĩ xem có thể biến đổi \(\vec{DA} + \vec{DO}\) thành một vectơ mà độ dài của nó liên quan đến các cạnh hoặc đường chéo của hình vuông.

Xét tam giác vuông DAB. \(\vec{DA}\) là một cạnh.
Xét tam giác DAO. \(\vec{DO}\).

Chúng ta biết O là trung điểm của BD.
\(\vec{DO} = \frac{1}{2}\vec{DB}\).
Nên \(\vec{DA} + \vec{DO} = \vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{DB}\).

Bây giờ, hãy thử biểu diễn \(\vec{DB}\) theo \(\vec{DA}\) và \(\vec{DC}\) (hoặc \(\vec{AB}\)).
\(\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}\).
Vì ABCD là hình vuông, \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Nên \(\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC}\).

Vậy, \(\vec{DA} + \vec{DO} = \vec{DA} + \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{DC})\)
\(= \vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{DC}\)
\(= \frac{3}{2}\vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{DC}\)

Bây giờ, chúng ta có thể tính độ dài của vectơ này.
Độ dài của \(\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}\) khi \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) vuông góc với nhau là \(\sqrt{(xa)^2 + (yb)^2}\).
Ở đây, \(\vec{DA}\) và \(\vec{DC}\) vuông góc với nhau (\(\angle ADC = 90^\circ\)).
Độ dài của \(\vec{DA}\) là 2a.
Độ dài của \(\vec{DC}\) là 2a.

Vậy, độ dài của vectơ \(\frac{3}{2}\vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{DC}\) là:
\(|\frac{3}{2}\vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{DC}| = \sqrt{(\frac{3}{2} |\vec{DA}|)^2 + (\frac{1}{2} |\vec{DC}|)^2}\)
\(= \sqrt{(\frac{3}{2} \cdot 2a)^2 + (\frac{1}{2} \cdot 2a)^2}\)
\(= \sqrt{(3a)^2 + (a)^2}\)
\(= \sqrt{9a^2 + a^2}\)
\(= \sqrt{10a^2}\)
\(= a\sqrt{10}\)

Vậy, độ dài của \(\vec{DA} + \vec{DO}\) là \(a\sqrt{10}\).

Bước 3: Kiểm tra lại và trình bày kết quả.

Chúng ta đã sử dụng tính chất của hình vuông và quy tắc cộng vectơ.
\(\vec{DO} = \frac{1}{2}\vec{DB}\)
\(\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB}\)
\(\vec{AB} = \vec{DC}\) (do ABCD là hình vuông)
\(\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC}\)
\(\vec{DA} + \vec{DO} = \vec{DA} + \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{DC}) = \frac{3}{2}\vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{DC}\)
Vì \(\vec{DA}\) và \(\vec{DC}\) vuông góc với nhau và có độ dài 2a, ta áp dụng công thức tính độ dài của tổng hai vectơ vuông góc.

Kết luận:

Với hình vuông ABCD có tâm O và cạnh 2a, độ dài của vectơ \(\vec{DA} + \vec{DO}\) là \(a\sqrt{10}\).

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các quy tắc về vectơ và tính chất của hình học, chúng ta có thể giải quyết bài toán một cách nhẹ nhàng. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em đừng ngần ngại hỏi cô nhé!