Chào các em học sinh thân mến,

Câu hỏi “Tại sao góc giữa hai mặt phẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ?” là một câu hỏi rất hay và quan trọng, giúp chúng ta hiểu sâu hơn về định nghĩa và cách xác định góc trong không gian. Theo chương trình Sách giáo khoa mới (dù là bộ Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo hay Cánh diều), khái niệm này đều được trình bày một cách thống nhất. Chúng ta cùng đi tìm hiểu chi tiết nhé!

Bước 1: Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

Trong hình học không gian, khi hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) cắt nhau, chúng tạo thành một giao tuyến. Để xác định góc giữa hai mặt phẳng này, ta làm như sau:

1. Chọn một điểm \(O\) bất kỳ trên giao tuyến của hai mặt phẳng.
2. Từ \(O\), kẻ một đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) và vuông góc với giao tuyến.
3. Từ \(O\), kẻ một đường thẳng \(b\) nằm trong mặt phẳng \((Q)\) và vuông góc với giao tuyến.

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) chính là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\). Chúng ta thường ký hiệu góc này là \(\left( (P), (Q) \right)\) hoặc \(\alpha\).

Bước 2: Giải thích tại sao phải chọn góc “nhọn” (nhỏ hơn hoặc bằng 90 độ)

Các em hãy hình dung khi hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(O\), chúng sẽ tạo ra bốn góc. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, và hai góc kề bù thì có tổng bằng \(180^\circ\). Ví dụ, nếu một góc là \(60^\circ\), thì góc đối đỉnh của nó cũng là \(60^\circ\). Hai góc kề bù với chúng sẽ là \(180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\).

Để đảm bảo rằng “góc giữa hai mặt phẳng” là một giá trị duy nhất và không gây nhầm lẫn, người ta đã quy ước rằng góc giữa hai mặt phẳng là góc không tù (tức là góc nhọn hoặc góc vuông). Nghĩa là, chúng ta luôn chọn giá trị góc nằm trong khoảng từ \(0^\circ\) đến \(90^\circ\).

Lý do quy ước này: Nó tương tự như việc chúng ta định nghĩa góc giữa hai đường thẳng. Khi hai đường thẳng cắt nhau, chúng cũng tạo thành hai cặp góc đối đỉnh, trong đó có một cặp góc nhọn (hoặc bằng \(90^\circ\)) và một cặp góc tù (nếu không phải \(90^\circ\)). Ta luôn chọn góc nhọn làm góc giữa hai đường thẳng. Mục đích là để đại lượng “góc” thể hiện mức độ “mở” của hai đối tượng một cách đơn giản nhất, không phụ thuộc vào hướng chọn mặt phẳng.

Bước 3: Chứng minh bằng công thức vector pháp tuyến (phương pháp thường dùng nhất trong lớp 12)

Đây là cách chứng minh toán học chặt chẽ nhất mà chúng ta học trong chương trình.

Giả sử mặt phẳng \((P)\) có vector pháp tuyến là \(\vec{n_P}\) và mặt phẳng \((Q)\) có vector pháp tuyến là \(\vec{n_Q}\).

Để dễ hiểu, vector pháp tuyến là vector có giá vuông góc với mặt phẳng. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau, các vector pháp tuyến của chúng cũng sẽ tạo thành một góc. Góc giữa hai mặt phẳng có liên hệ chặt chẽ với góc giữa hai vector pháp tuyến của chúng.

Gọi \(\phi\) là góc giữa hai vector \(\vec{n_P}\) và \(\vec{n_Q}\). Theo định nghĩa, góc giữa hai vector có thể nằm trong khoảng từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\). Công thức tính cosin của góc này là:

\[\cos \phi = \frac{\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q}}{|\vec{n_P}| \cdot |\vec{n_Q}|}\]

Bây giờ, chúng ta áp dụng định nghĩa quy ước ở Bước 2. Góc \(\alpha\) giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) được định nghĩa bởi công thức sau:

\[\cos \alpha = \frac{|\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q}|}{|\vec{n_P}| \cdot |\vec{n_Q}|}\]

Giải thích lý do có dấu trị tuyệt đối \(\mathbf{|…|}\):

Dấu trị tuyệt đối ở tử số \(|\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q}|\) đóng vai trò cực kỳ quan trọng.

• Các em biết rằng tích vô hướng \(\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q}\) có thể là một số dương, âm hoặc bằng 0, tùy thuộc vào góc \(\phi\) giữa hai vector \(\vec{n_P}\) và \(\vec{n_Q}\).
  • Nếu \(\phi\) là góc nhọn (\(0^\circ < \phi < 90^\circ\)), thì \(\cos \phi > 0\) và \(\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} > 0\).
  • Nếu \(\phi\) là góc tù (\(90^\circ < \phi < 180^\circ\)), thì \(\cos \phi < 0\) và \(\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} < 0\).
  • Nếu \(\phi = 90^\circ\), thì \(\cos \phi = 0\) và \(\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 0\).
• Khi ta lấy trị tuyệt đối \(|\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q}|\), thì giá trị của tử số luôn luôn là số không âm (lớn hơn hoặc bằng 0).
• Mẫu số \(|\vec{n_P}| \cdot |\vec{n_Q}|\) là tích của độ dài hai vector, nên nó luôn dương (trừ trường hợp vector 0, nhưng vector pháp tuyến không thể là vector 0).

Do đó, phân số \(\frac{|\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q}|}{|\vec{n_P}| \cdot |\vec{n_Q}|}\) sẽ luôn cho ra một giá trị không âm. Điều này có nghĩa là:

\[\cos \alpha \ge 0\]

Trong khoảng góc từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\), chỉ khi \(\alpha\) nằm trong khoảng từ \(0^\circ\) đến \(90^\circ\) thì giá trị \(\cos \alpha\) mới không âm. Cụ thể:

• Nếu \(\alpha = 0^\circ\), \(\cos \alpha = 1\).
• Nếu \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), \(\cos \alpha > 0\).
• Nếu \(\alpha = 90^\circ\), \(\cos \alpha = 0\).

Vậy, từ \(\cos \alpha \ge 0\), ta suy ra được rằng góc \(\alpha\) giữa hai mặt phẳng phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng \(90^\circ\) (tức là \(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ\)).

Kết luận:

Tóm lại, góc giữa hai mặt phẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng \(90^\circ\) là do một quy ước chung trong hình học nhằm đảm bảo tính duy nhất và đơn giản cho định nghĩa. Quy ước này được thể hiện rõ ràng qua việc sử dụng dấu trị tuyệt đối trong công thức tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng bằng cách sử dụng các vector pháp tuyến của chúng. Dấu trị tuyệt đối này đảm bảo rằng giá trị cosin luôn không âm, và do đó, góc tính được luôn là góc nhọn hoặc góc vuông.

Hy vọng phần giải thích này giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức này nhé!