Trước hết, cô xin tóm tắt lại đề bài một chút để chúng ta dễ hình dung:

Chúng ta có nhiều chai sữa giống hệt nhau, ban đầu đều có nhiệt độ là \(t_{x}\) (độ C).
Chúng ta có một bình cách nhiệt chứa nước, nhiệt độ ban đầu của nước là \(t_{0} = 36\) (độ C).
Bỏ qua sự hao phí nhiệt ra môi trường bên ngoài.

Lần lượt từng chai sữa được thả vào bình nước.

* Lần 1: Thả chai thứ nhất vào. Khi cân bằng nhiệt, nhiệt độ là \(t_{1} = 33\) (độ C).
* Lần 2: Lấy chai thứ nhất ra, thả chai thứ hai vào. Khi cân bằng nhiệt, nhiệt độ là \(t_{2} = 30,5\) (độ C).
* Tiếp tục quá trình này với các chai sữa tiếp theo.

Chúng ta cần tìm hai ý:
a) Nhiệt độ ban đầu của mỗi chai sữa, \(t_{x}\).
b) Tìm xem chai sữa thứ bao nhiêu thì khi lấy chai sữa ra, nhiệt độ nước trong bình sẽ bắt đầu nhỏ hơn 26 (độ C).

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng phần.

Phần a) Tìm nhiệt độ \(t_{x}\)

Các em nhớ lại kiến thức về cân bằng nhiệt mà chúng ta đã học. Khi hai vật truyền nhiệt cho nhau cho đến khi đạt trạng thái cân bằng nhiệt, thì nhiệt lượng mà vật nóng tỏa ra bằng nhiệt lượng mà vật lạnh thu vào.
Ở đây, ta coi bình cách nhiệt là vật không bị mất nhiệt ra môi trường, và ta cũng bỏ qua sự hấp thụ nhiệt của bình chứa. Chỉ có chai sữa và nước trong bình là trao đổi nhiệt với nhau.

Xét lần thứ nhất:
* Nước trong bình ban đầu có nhiệt độ \(t_{0} = 36\) (độ C).
* Chai sữa thứ nhất ban đầu có nhiệt độ \(t_{x}\) (độ C).
* Khi cân bằng nhiệt, cả nước và chai sữa đều có nhiệt độ \(t_{1} = 33\) (độ C).

Vì ban đầu nước có nhiệt độ cao hơn chai sữa (điều này hợp lý vì \(t_{0} > t_{1}\)), nên nước sẽ tỏa nhiệt và chai sữa sẽ thu nhiệt.

Gọi \(m_{s}\) là khối lượng của một chai sữa, \(c_{s}\) là nhiệt dung riêng của chất làm chai sữa.
Gọi \(m_{n}\) là khối lượng nước trong bình, \(c_{n}\) là nhiệt dung riêng của nước.

Nhiệt lượng nước tỏa ra để hạ nhiệt độ từ \(t_{0}\) xuống \(t_{1}\) là:
\(Q_{tỏa} = m_{n} \cdot c_{n} \cdot (t_{0} – t_{1})\)

Nhiệt lượng chai sữa thu vào để tăng nhiệt độ từ \(t_{x}\) lên \(t_{1}\) là:
\(Q_{thu} = m_{s} \cdot c_{s} \cdot (t_{1} – t_{x})\)

Theo nguyên lý truyền nhiệt, ta có:
\(Q_{tỏa} = Q_{thu}\)
Hay:
\(m_{n} \cdot c_{n} \cdot (t_{0} – t_{1}) = m_{s} \cdot c_{s} \cdot (t_{1} – t_{x})\)

Tuy nhiên, đề bài cho chúng ta biết chai sữa “hoàn toàn giống nhau”. Điều này có nghĩa là khối lượng và nhiệt dung riêng của mỗi chai sữa là như nhau.
Quan trọng hơn, chúng ta cần xem xét nhiệt lượng trao đổi. Để đơn giản hóa, ta có thể quy về “đương lượng nhiệt” của chai sữa và nước.
Vì các chai sữa hoàn toàn giống nhau, ta có thể gộp khối lượng và nhiệt dung riêng của chúng lại thành một đại lượng tương đương, gọi là “nhiệt lượng cần thiết để tăng nhiệt độ của một chai sữa lên 1 độ C”. Chúng ta có thể gọi đại lượng này là \(C_{s} = m_{s} \cdot c_{s}\).
Tương tự, ta có thể gọi “nhiệt lượng cần thiết để tăng nhiệt độ của nước trong bình lên 1 độ C” là \(C_{n} = m_{n} \cdot c_{n}\).

Tuy nhiên, ở đây có một điểm cần lưu ý. Khi ta thả chai sữa vào, nhiệt độ nước giảm từ \(t_{0}\) xuống \(t_{1}\). Sau đó, ta lại lấy chai thứ nhất ra và thả chai thứ hai vào. Nhiệt độ nước lúc này có thể đã thay đổi so với ban đầu vì nó đã trao đổi nhiệt với chai thứ nhất.
Chúng ta cần hiểu rõ quá trình diễn ra.

Lần 1:
Nước ban đầu: nhiệt độ \(t_{0} = 36\) (độ C).
Chai sữa 1 ban đầu: nhiệt độ \(t_{x}\) (độ C).
Sau khi cân bằng: nhiệt độ chung \(t_{1} = 33\) (độ C).

Nhiệt lượng nước tỏa ra: \(Q_{n1} = C_{n} \cdot (t_{0} – t_{1})\)
Nhiệt lượng chai sữa 1 thu vào: \(Q_{s1} = C_{s} \cdot (t_{1} – t_{x})\)

Ta có: \(C_{n} \cdot (36 – 33) = C_{s} \cdot (33 – t_{x})\)
\(3 \cdot C_{n} = C_{s} \cdot (33 – t_{x})\) (Phương trình 1)

Bây giờ, ta lấy chai thứ nhất ra. Nhiệt độ nước lúc này vẫn là \(t_{1} = 33\) (độ C). (Giả sử quá trình lấy ra rất nhanh, không kịp trao đổi nhiệt đáng kể với môi trường).

Lần 2:
Nước ban đầu: nhiệt độ \(t_{1} = 33\) (độ C).
Chai sữa 2 ban đầu: nhiệt độ \(t_{x}\) (độ C). (Vì các chai sữa giống nhau).
Sau khi cân bằng: nhiệt độ chung \(t_{2} = 30,5\) (độ C).

Nhiệt lượng nước tỏa ra: \(Q_{n2} = C_{n} \cdot (t_{1} – t_{2})\)
Nhiệt lượng chai sữa 2 thu vào: \(Q_{s2} = C_{s} \cdot (t_{2} – t_{x})\)

Ta có: \(C_{n} \cdot (33 – 30,5) = C_{s} \cdot (30,5 – t_{x})\)
\(2,5 \cdot C_{n} = C_{s} \cdot (30,5 – t_{x})\) (Phương trình 2)

Chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn là \(C_{n}/C_{s}\) và \(t_{x}\). Tuy nhiên, chúng ta có thể tìm \(t_{x}\) mà không cần tìm tỉ lệ \(C_{n}/C_{s}\) một cách tường minh.

Từ Phương trình 1: \(\frac{C_{n}}{C_{s}} = \frac{33 – t_{x}}{3}\)
Từ Phương trình 2: \(\frac{C_{n}}{C_{s}} = \frac{30,5 – t_{x}}{2,5}\)

Cho hai biểu thức này bằng nhau:
\(\frac{33 – t_{x}}{3} = \frac{30,5 – t_{x}}{2,5}\)

Nhân chéo hai vế:
\(2,5 \cdot (33 – t_{x}) = 3 \cdot (30,5 – t_{x})\)
\(82,5 – 2,5 \cdot t_{x} = 91,5 – 3 \cdot t_{x}\)

Chuyển các hạng tử chứa \(t_{x}\) về một vế và các số hạng tự do về một vế:
\(3 \cdot t_{x} – 2,5 \cdot t_{x} = 91,5 – 82,5\)
\(0,5 \cdot t_{x} = 9\)

Chia cả hai vế cho 0,5:
\(t_{x} = \frac{9}{0,5}\)
\(t_{x} = 18\)

Vậy, nhiệt độ ban đầu của mỗi chai sữa là 18 (độ C).

Phần b) Đến chai sữa thứ bao nhiêu thì khi lấy chai sữa ra nhiệt độ nước trong bình bắt đầu nhỏ hơn 260C?

Chúng ta đã biết nhiệt độ ban đầu của sữa là \(t_{x} = 18\) (độ C).
Và chúng ta cũng có tỉ lệ \(\frac{C_{n}}{C_{s}}\) hoặc có thể tính được nó.
Từ Phương trình 1: \(3 \cdot C_{n} = C_{s} \cdot (33 – 18) = C_{s} \cdot 15\)
\(\frac{C_{n}}{C_{s}} = \frac{15}{3} = 5\)
Vậy, \(C_{n} = 5 \cdot C_{s}\). Điều này có nghĩa là lượng nước trong bình có “sức chịu nhiệt” gấp 5 lần so với một chai sữa.

Bây giờ, chúng ta sẽ xét quá trình lặp đi lặp lại.
Sau khi thả chai sữa thứ \(k\) vào và đạt cân bằng nhiệt ở nhiệt độ \(t_{k}\), ta lấy chai sữa ra. Nhiệt độ nước lúc đó sẽ là \(t_{k}\).
Tiếp theo, ta thả chai sữa thứ \(k+1\) vào. Chai sữa này có nhiệt độ ban đầu là \(t_{x} = 18\) (độ C).
Nước lúc này có nhiệt độ là \(t_{k}\).
Sau khi cân bằng, cả nước và chai sữa thứ \(k+1\) sẽ có nhiệt độ mới là \(t_{k+1}\).

Nhiệt lượng nước tỏa ra: \(Q_{n,k+1} = C_{n} \cdot (t_{k} – t_{k+1})\)
Nhiệt lượng chai sữa \(k+1\) thu vào: \(Q_{s,k+1} = C_{s} \cdot (t_{k+1} – t_{x})\)

Ta có: \(C_{n} \cdot (t_{k} – t_{k+1}) = C_{s} \cdot (t_{k+1} – t_{x})\)
Thay \(C_{n} = 5 \cdot C_{s}\):
\(5 \cdot C_{s} \cdot (t_{k} – t_{k+1}) = C_{s} \cdot (t_{k+1} – t_{x})\)

Chia cả hai vế cho \(C_{s}\) (vì \(C_{s}\) khác 0):
\(5 \cdot (t_{k} – t_{k+1}) = t_{k+1} – t_{x}\)
\(5 t_{k} – 5 t_{k+1} = t_{k+1} – t_{x}\)

Ta cần tìm \(t_{k+1}\) theo \(t_{k}\).
\(5 t_{k} + t_{x} = 6 t_{k+1}\)
\(t_{k+1} = \frac{5 t_{k} + t_{x}}{6}\)

Chúng ta biết \(t_{x} = 18\).
\(t_{k+1} = \frac{5 t_{k} + 18}{6}\)

Chúng ta có các giá trị nhiệt độ ban đầu:
\(t_{0} = 36\) (nhiệt độ ban đầu của nước).
\(t_{1} = 33\) (nhiệt độ sau khi cân bằng lần 1, cũng là nhiệt độ nước khi bắt đầu lần 2).
\(t_{2} = 30,5\) (nhiệt độ sau khi cân bằng lần 2, cũng là nhiệt độ nước khi bắt đầu lần 3).

Ta có công thức truy hồi để tính nhiệt độ nước sau mỗi lần cân bằng:
\(t_{k+1} = \frac{5}{6} t_{k} + \frac{18}{6} = \frac{5}{6} t_{k} + 3\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tính nhiệt độ nước sau mỗi lần cân bằng, và kiểm tra điều kiện \(t_{k+1} < 26\). Lưu ý: \(t_{k+1}\) là nhiệt độ của nước SAU KHI CÂN BẰNG LẦN THỨ \(k+1\). Khi ta lấy chai sữa thứ \(k+1\) ra, nhiệt độ nước chính là \(t_{k+1}\). Ta cần tìm chai sữa thứ bao nhiêu, tức là tìm giá trị \(N\) sao cho khi lấy chai sữa thứ \(N\) ra, nhiệt độ nước là \(t_{N} < 26\). Ta có: Nhiệt độ nước trước lần 1 (ban đầu): \(t_{0} = 36\). Nhiệt độ nước sau lần 1 (khi lấy chai 1 ra): \(t_{1} = 33\). Chai sữa 1 đã được lấy ra. Nhiệt độ nước sau lần 2 (khi lấy chai 2 ra): \(t_{2} = 30,5\). Chai sữa 2 đã được lấy ra. Chúng ta cần tính \(t_{3}, t_{4}, ...\) Ta sử dụng công thức: \(t_{k+1} = \frac{5}{6} t_{k} + 3\) với \(t_{k}\) là nhiệt độ nước khi bắt đầu lần \(k+1\). * Bắt đầu lần 3: Nhiệt độ nước \(t_{2} = 30,5\) (độ C). Thả chai sữa thứ 3 vào. Nhiệt độ nước sau cân bằng lần 3 (khi lấy chai 3 ra): \(t_{3} = \frac{5}{6} t_{2} + 3 = \frac{5}{6} \cdot 30,5 + 3\) \(t_{3} = \frac{152,5}{6} + 3 \approx 25,4167 + 3 = 28,4167\) (độ C) Nhiệt độ nước lúc này là 28,4167 (độ C), vẫn lớn hơn 26. Chai sữa thứ 3 đã được lấy ra. * Bắt đầu lần 4: Nhiệt độ nước \(t_{3} \approx 28,4167\) (độ C). Thả chai sữa thứ 4 vào. Nhiệt độ nước sau cân bằng lần 4 (khi lấy chai 4 ra): \(t_{4} = \frac{5}{6} t_{3} + 3 \approx \frac{5}{6} \cdot 28,4167 + 3\) \(t_{4} \approx \frac{142,0835}{6} + 3 \approx 23,6806 + 3 = 26,6806\) (độ C) Nhiệt độ nước lúc này là 26,6806 (độ C), vẫn lớn hơn 26. Chai sữa thứ 4 đã được lấy ra. * Bắt đầu lần 5: Nhiệt độ nước \(t_{4} \approx 26,6806\) (độ C). Thả chai sữa thứ 5 vào. Nhiệt độ nước sau cân bằng lần 5 (khi lấy chai 5 ra): \(t_{5} = \frac{5}{6} t_{4} + 3 \approx \frac{5}{6} \cdot 26,6806 + 3\) \(t_{5} \approx \frac{133,403}{6} + 3 \approx 22,2338 + 3 = 25,2338\) (độ C) Nhiệt độ nước lúc này là 25,2338 (độ C). Chúng ta thấy rằng, sau khi cân bằng với chai sữa thứ 5 và lấy chai sữa thứ 5 ra, nhiệt độ nước trong bình là \(t_{5} \approx 25,2338\) (độ C). \(25,2338 < 26\). Vậy, đến chai sữa thứ 5 thì khi lấy chai sữa ra, nhiệt độ nước trong bình bắt đầu nhỏ hơn 26 (độ C). Đáp án: a) Nhiệt độ \(t_x\) là 18 (độ C). b) Đến chai sữa thứ 5 thì khi lấy chai sữa ra nhiệt độ nước trong bình bắt đầu nhỏ hơn 26 (độ C). Các em thấy không, bài tập này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự bảo toàn năng lượng trong quá trình truyền nhiệt và cách tính toán khi có sự lặp lại của một quá trình. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Chúc các em học tốt!